Infinito

L’infinito è un concetto astratto che, in sostanza, non si può nemmeno immaginare. L’infinito in sé non ha fine, e da qui deriva anche il suo nome, ma l’infinito in generale non ha nemmeno un inizio (possiamo però specificarlo meglio: per esempio, anche una semiretta è infinita, ma ha un inizio). L’infinito si scrive di solito con il cosiddetto «otto coricato»: ∞.

Calcoliamo con l’infinito

L’infinito somiglia in parte allo zero, che sotto molti aspetti è speciale e per cui valgono regole speciali. Per esempio, per zero non si può dividere, lo sa probabilmente ogni bambino (a proposito, conosci questa barzelletta? Qual è la miglior scusa quando non hai fatto i compiti di matematica? «Prof, ho iniziato per sbaglio a dividere per zero e mi si è bruciato il quaderno…» ;o)).

Così come qualsiasi numero per zero fa zero, vale anche che qualsiasi numero per l’infinito, o qualsiasi numero più l’infinito, fa infinito. Se dall’infinito sottrai un numero grande quanto vuoi, ti resta sempre l’infinito. Lo stesso vale se provi a dividere l’infinito. L’infinito è semplicemente così grande che, anche se ogni secondo ne sottrai milioni, ti resterà sempre l’infinito. A volte è un po’ difficile da capire, per esempio prendiamo questa piccola uguaglianza: ∞ + 1 = ∞. Vale o non vale?

La logica ci dice che il membro di sinistra è più grande: se all’infinito aggiungo uno, l’intera espressione deve essere maggiore del semplice infinito. Non è detto :-). Come ho già detto, infinito più qualsiasi cosa fa infinito. Quindi infinito più uno fa infinito, e l’infinito è uguale all’infinito. L’uguaglianza vale.

Si può trovare anche un’altra strada, attraverso i limiti. Prendiamo la frazione 1/x e calcoliamo il limite destro per x→0⁺, supponendo che il quaderno non ci vada a fuoco. Questo limite sarebbe uguale a infinito. Se a questa espressione aggiungi uno, ottieni l’espressione (1+x)/x e il limite per x→0⁺ sarebbe di nuovo infinito.

Il bello comincia quando si combinano più infiniti. Per esempio, a che cosa è uguale l’espressione infinito meno infinito? La logica ci dice che sottraiamo due numeri ugualmente grandi, quindi il risultato sarà zero. Ho però detto anche che se dall’infinito sottraiamo un qualsiasi numero, il risultato è di nuovo infinito. Al contrario, se da un qualsiasi numero sottraiamo l’infinito, otteniamo meno infinito. Come ne usciamo, allora? Tutti i risultati sono teoricamente possibili. La matematica dice che l’espressione ∞ − ∞ non è uguale a niente di preciso: è una forma indeterminata, cioè un’espressione non definita. È un caso simile a quando provi a dividere per zero: semplicemente non ha senso. Se ti imbatti in una forma indeterminata di questo tipo, devi trasformare l’espressione in qualche modo (per alcuni tipi di forme indeterminate si può usare per esempio il teorema di de L’Hôpital [si legge «lopitàl»]).

Altre forme indeterminate o espressioni non definite:

• ∞ − ∞
• ∞/∞
• 0/0
• 0 · ∞
• 0⁰
• ∞⁰
• 1^∞

A proposito, valgono però le regole di base sui segni: per esempio −1 · ∞ è uguale a meno infinito.

Vuoi impazzire?

Allora buttati nella teoria degli insiemi e calcola quale insieme è più grande. Per esempio, è più grande l’insieme dei numeri pari o quello dei dispari? Pari o naturali? Naturali o interi? Pari o interi? Naturali o razionali? La risposta è che sono tutti ugualmente grandi. Per quanto possa sembrare strano (di numeri interi ce ne devono pur essere più che di numeri dispari), sono insiemi della stessa grandezza. L’insieme dei numeri reali, invece, è più grande degli insiemi appena citati. Chi ci capisce qualcosa è bravo ;-)