Da dove nasce il numero di Nepero

Il numero di Nepero è una delle costanti matematiche più famose, insieme per esempio al pi greco, π. Vediamo come siamo arrivati a questo numero e che cosa significa.

Nel Seicento il matematico svizzero Jacob Bernoulli si interessò all’interesse composto. Immaginiamo di avere un euro e di depositarlo in una banca che ci offre un interesse annuo del 100%. Da parte della banca è pura follia, ma che cosa non farebbe per il bene della matematica? Quanti soldi avremo sul conto esattamente dopo un anno? Avremo due euro.

Come cambierebbe la situazione se la banca ci offrisse un interesse del 50% da accreditare ogni sei mesi? Ci converrebbe di più o di meno?

Dopo i primi sei mesi avremmo la metà in più. «La metà in più» in matematica si scrive $x\cdot (1+\frac{1}{2})$. Al posto di x mettiamo il nostro deposito, cioè un euro, e calcoliamo

$$1\cdot (1+\frac{1}{2})=1,5$$

Dopo sei mesi abbiamo sul conto 1,50 €. Dopo altri sei mesi avremmo di nuovo la metà in più. Usiamo la stessa formula, solo che al posto di x mettiamo il nostro nuovo saldo, cioè 1,5:

$$1,5\cdot (1+\frac{1}{2})=2,25$$

Dopo un anno abbiamo quindi sul conto 2,25 €. Accreditare gli interessi più spesso e con un tasso più basso ci conviene.

Interessi ogni mese

E se la banca ci offrisse di accreditare gli interessi ogni mese, ma con un interesse pari a un dodicesimo di quello originale? Uff, qui c’è già un po’ da calcolare. Quale saldo avremo dopo il primo mese? Avremo «un dodicesimo in più», che si scrive $x\cdot (1+\frac{1}{12})$. Dopo il primo mese avremo quindi:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,083}3333\dots$$

Dopo il secondo mese avremo

$$\mathrm{1,083}3333\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,173}61111\dots$$

Osserva però che al posto del numero 1,0833333 possiamo usare l’espressione $1\cdot (1+\frac{1}{12})$, perché sappiamo che questi numeri sono uguali:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,173}61111\dots$$

Dopo il terzo mese avremo sul conto:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,271}41203$$

Come vedi, il nostro calcolo segue uno schema preciso. L’espressione tra parentesi si ripete tante volte quanti sono i mesi trascorsi. Possiamo semplificare l’espressione precedente: invece di tre parentesi uguali ne scriviamo una sola e la eleviamo al cubo:

$$1\cdot {(1+\frac{1}{12})}^3=\mathrm{1,271}41203$$

Anche la moltiplicazione per uno all’inizio è superflua, quindi la togliamo:

$${(1+\frac{1}{12})}^3=\mathrm{1,271}41203$$

Se ora vogliamo calcolare il saldo dopo dodici mesi, basta scrivere all’esponente il numero 12 al posto del 3:

$${(1+\frac{1}{12})}^{12}=\mathrm{2,613}0352$$

Dopo dodici mesi abbiamo sul conto circa 2,6130352 euro. Non male! Ed è molto meglio di quando avevamo un interesse annuo del 100% accreditato una volta sola.

Interesse continuo

Non dobbiamo fermarci ai mesi. Quanto avremmo se accreditassimo gli interessi ogni settimana, con un interesse pari a $\frac{1}{52}$ di quello originale? Poiché ormai conosciamo la formula, basta sostituire:

$${(1+\frac{1}{52})}^{52}=\mathrm{2,692}5969$$

E con l’interesse giornaliero?

$${(1+\frac{1}{365})}^{365}=\mathrm{2,714}5674$$

Con quello orario? (Un anno ha 8760 ore)

$${(1+\frac{1}{8760})}^{8760}=\mathrm{2,718}126$$

Vediamo che ogni volta che prendiamo un interesse più basso e lo accreditiamo più spesso, alla fine abbiamo un po’ più di soldi sul conto. Ma gli aumenti non sono più così grandi. Potremmo continuare così all’infinito. Anzi, non è una cattiva idea: potremmo accreditare gli interessi ogni minuto, ogni secondo, ogni millisecondo, ogni nanosecondo… fino ad arrivare ad accreditarli di continuo. Avremmo un interesse continuo e minuscolo con cui il saldo viene capitalizzato in ogni istante. Quanti soldi avremmo in questo caso sul conto dopo un anno?

Torniamo al numero di Nepero

Questa è la domanda che Jacob Bernoulli cercò di risolvere. Per sua sfortuna non ci riuscì, e ci riuscì solo nel Settecento il celebre matematico Leonhard Euler. Egli calcolò che dopo un anno avremmo sul conto

$$\mathrm{2,718}28182845904523536028747135\dots$$

euro. Vedi che non è molto di più di quando accreditavamo gli interessi ogni ora. E poiché si scoprì che questo saldo, questo numero, è molto importante in vari campi della matematica, ancora oggi si chiama numero di Eulero (in Italia soprattutto numero di Nepero) e lo indichiamo con la lettera e. Il numero di Nepero è un numero irrazionale, cioè un numero con uno sviluppo decimale infinito e non periodico. Come per esempio il numero π. Non lo vedrai mai scritto per intero. Eppure possiamo definire con precisione il numero di Nepero mediante un limite di una funzione:

$$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n$$

Fonti e link

• Un’ottima puntata del canale inglese Numberphile sul numero di Nepero.
• Come calcolare gli interessi di un mutuo