Numeri complessi

I numeri complessi sono un ampliamento dei numeri reali. Nell’insieme dei numeri reali possiamo eseguire la maggior parte delle operazioni classiche, come addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione (tranne la divisione per zero). Nei numeri reali possiamo anche estrarre la radice, ma solo di numeri non negativi. Questo è un limite, per esempio quando risolviamo un’equazione di secondo grado e il discriminante viene negativo. I numeri complessi colmano questa lacuna.

Che cos’è un numero complesso

Rispetto ai numeri usuali, quelli complessi si distinguono soprattutto perché hanno due parti: una reale e una immaginaria. Un numero complesso è una coppia ordinata di numeri (x; y), dove il numero x è la parte reale e il numero y la parte immaginaria. Se la parte reale è nulla, si tratta di un numero immaginario puro. I numeri x e y stessi sono reali.

L’insieme dei numeri complessi si indica con la lettera maiuscola C: ℂ.

Uguaglianza di numeri complessi: a differenza dei numeri usuali, i numeri complessi hanno due componenti. Perché due numeri complessi siano uguali, devono quindi essere uguali in entrambe le componenti. Questi numeri complessi sono dunque tutti diversi tra loro: (2; 3) ≠ (0; 3) ≠ (2; 0). I numeri complessi z₁ = (1; 2) e z₂ = (1; 2) sono invece uguali: z₁ = z₂.

Forma algebrica e unità immaginaria

I numeri complessi si scrivono più spesso in forma algebrica, che si presenta così. Il numero complesso (x; y) ha forma algebrica x + yi, dove i si chiama unità immaginaria. Per il quadrato dell’unità immaginaria vale una relazione molto importante:

$$i^2=-1$$

Questa uguaglianza ci servirà spesso, insieme alle altre potenze. Le potenze successive, infatti, si calcolano nel modo consueto. Per esempio, se vogliamo semplificare i³, possiamo scomporre l’espressione secondo le regole di calcolo con le potenze in i² · i. Sappiamo già che i² è uguale a meno uno. L’altra «i» non si può scomporre ulteriormente, quindi otteniamo: i³ = −i.

$$i^3=\underset{-1}{\underbrace{i^2}}\cdot \underset{i}{\underbrace{i}}=-i$$

Allo stesso modo per i⁴. Possiamo scomporlo in i² · i², dove i² = −1, quindi otteniamo: −1 · − 1 = 1.

$$i^4=\underset{-1}{\underbrace{i^2}}\cdot \underset{-1}{\underbrace{i^2}}=-1\cdot -1=1$$

Quindi i⁴ = 1. Possiamo sfruttare questo fatto per calcolare potenze dell’unità immaginaria con esponente ancora maggiore. Per esempio, per calcolare i⁷ possiamo scomporlo in i⁴ · i³. Sappiamo che i⁴ = 1, quindi otteniamo: 1 · i³. E sappiamo che i³ = −i. Il risultato è: 1 · (−i) = −i.

Addizione e moltiplicazione

I numeri complessi si possono sommare e moltiplicare. Nell’addizione di due numeri complessi z₁ e z₂ basta sommare separatamente le parti reali e le parti immaginarie:

$$z_1+z_2=(x_1+y_{1}i)+(x_2+y_{2}i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i$$

Esempio: z₁ = 3 + 7i e z₂ = 5 + 8i. La somma si calcola così: z₁ + z₂ = (3 + 5) + (7 + 8)i = 8 + 15i.

Il prodotto di due numeri complessi è un po’ più complicato, ma si può svolgere come una normale moltiplicazione tra parentesi. La formula di base è questa:

$$z_1\cdot z_2=(x_1+y_{1}i)\cdot (x_2+y_{2}i)=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i$$

Come ci siamo arrivati? Proviamo a moltiplicare z₁ · z₂ come se moltiplicassimo due normali parentesi. Otteniamo:

$$z_1\cdot z_2=x_1{x}_2+x_1{y}_{2}i+x_2{y}_{1}i+y_1{y}_2{i}^2$$

Poiché i² = −1, dopo aver sistemato l’ultimo termine otteniamo:

$$z_1\cdot z_2=x_1{x}_2+x_1{y}_{2}i+x_2{y}_{1}i-y_1{y}_2$$

E ora raccogliamo insieme i termini senza l’unità immaginaria e quelli con essa:

$$z_1\cdot z_2=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i$$

Esempio. Proviamo a moltiplicare i numeri 5 + 6i e 4 + 7i. Otteniamo:

$$(5+6i)\cdot (4+7i)=20+35i+24i+42i^2=20+59i-42=-22+59i$$

Numero opposto, reciproco e coniugato

• L’opposto del numero complesso x + yi ha la forma −x − yi. Come per i numeri reali, otteniamo l’opposto moltiplicando il numero complesso per meno uno. Esempio: l’opposto di 2 + 7i è −2 − 7i. L’opposto di −5 + 8i è 5 − 8i e così via.

• Il reciproco del numero complesso x + yi ha la forma $\frac{1}{x+yi}$. Il reciproco del numero 4 − 2i ha quindi la forma $\frac{1}{4-2i}$.

• Il coniugato del numero x + yi ha la forma x − yi. Di solito si indica con una barra così: $\bar{z}$, oppure con un asterisco z*. È il numero complesso coniugato del numero complesso z. Il coniugato del numero 2 + 9i è il numero 2 − 9i.

Sottrazione e divisione

Una volta definiti l’opposto e il reciproco, possiamo definire anche la sottrazione e la divisione. Per sottrarre due numeri complessi, z₁ − z₂, sommiamo a z₁ l’opposto di z₂. In pratica otteniamo una formula semplice:

$$z_1-z_2=(x_1+y_{1}i)-(x_2+y_{2}i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i$$

Analogamente la divisione z₁ / z₂ si riconduce a una moltiplicazione: moltiplichiamo z₁ · z₂′, dove z₂′ è il reciproco di z₂.

Modulo

Il modulo del numero complesso z si calcola con la formula:

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\cdot \bar{z}}$$

(Sotto la radice quadrata, la seconda z è il coniugato di z.) Il significato di questa formula si vede bene nella rappresentazione geometrica dei numeri complessi.

Ogni numero complesso il cui modulo è uguale a uno si chiama numero complesso unitario. Esempi di numeri complessi unitari: 1, i, $\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$.

Proprietà del modulo:

• Il modulo di un numero complesso è un numero reale.
• |z| ≥ 0
• |z| = |−z| = |z*|, dove z* è il numero complesso coniugato.