Intervallo

Gli intervalli si usano moltissimo in matematica e compaiono in innumerevoli definizioni. Un intervallo è un insieme di punti delimitato da due estremi. Si distinguono poi intervalli aperti e intervalli chiusi.

Descrizione di base

Gli intervalli si usano anche nel linguaggio di tutti i giorni, per esempio: «per aver sbagliato il colore dei tuoi occhi puoi ricevere dall’Unione europea una multa compresa tra quattrocento e ottocento euro». Nell’esempio c’è la parola «compresa», ma dal punto di vista matematico si tratta di un intervallo. A questo punto sorgono però domande insidiose: puoi ricevere una multa di esattamente quattrocento euro, oppure l’estremo non è compreso? Con quanta precisione si può stabilire la multa? Può essere di 741,68 €? Oppure si può procedere solo di dieci in dieci, cioè o 740 € o 750 €?

Tutto si risolve con la notazione matematica. Dobbiamo dire due cose essenziali: in quale insieme ci muoviamo (nel contesto dell’esempio: decine di euro? centinaia? euro interi?) e se nell’intervallo rientrano anche gli estremi (si può ricevere una multa di esattamente quattrocento o ottocento euro?).

La buona notizia è che nella stragrande maggioranza dei casi in matematica vogliamo che l’intervallo lavori con l’insieme dei numeri reali, quindi se trovi un intervallo senza l’indicazione dell’insieme, si tratta senza dubbio di numeri reali.

L’insieme di partenza ce l’abbiamo, ma come indicare se vogliamo considerare gli estremi? Gli intervalli si scrivono con le parentesi. La parentesi tonda indica che l’estremo non appartiene all’intervallo, la parentesi quadra indica invece che l’estremo appartiene. Questo si chiama apertura e chiusura. Se l’estremo appartiene all’intervallo, l’intervallo è chiuso; se non appartiene, è aperto.

Esempi

Seguono alcuni esempi (tutti nell’insieme dei numeri reali, se non diversamente indicato):

• [1; 2]   Intervallo chiuso da uno a due. Nell’intervallo rientrano tutti i numeri reali tra uno e due, compresi uno e due.
• (1; 2)   Intervallo aperto da uno a due. Nell’intervallo rientrano tutti i numeri reali tra uno e due, ma i numeri uno e due non vi appartengono.
• [0; 1)   L’intervallo è chiuso a sinistra e aperto a destra. Nell’intervallo rientrano tutti i numeri tra zero e uno, compreso lo zero, ma l’uno non appartiene all’intervallo.
• (p; q]   L’intervallo è aperto a sinistra e chiuso a destra. Nell’intervallo rientrano tutti i numeri tra p e q, compreso q, ma escluso p.
• [0; +∞)   Intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra. Se nell’intervallo c’è l’infinito, da quel lato usa sempre la parentesi tonda: l’infinito non è un estremo finito, quindi lì un intervallo chiuso non ha senso.
• [1; 5] ⊂ ℕ^*   Qui cambia qualcosa: non lavoriamo con l’insieme dei numeri reali, ma con l’insieme dei numeri naturali. L’intervallo è chiuso da entrambi i lati e contiene quindi in tutto cinque numeri: 1, 2, 3, 4 e 5.
• (1; 5] ⊂ ℕ^*   Lo stesso caso di prima, solo che l’intervallo è aperto a sinistra, quindi l’uno non appartiene all’intervallo e l’elenco di tutti i suoi elementi è: 2, 3, 4 e 5.

Intervallo come insieme

Come vedi, un intervallo non è altro che un sottoinsieme dell’insieme su cui è definito. Possiamo quindi trattare gli intervalli come insiemi ed eseguire con loro le operazioni tra insiemi. Per esempio, l’unione potrebbe essere così:

$$[0;5]\cup [5;10]=[0;10]$$

Attenzione agli intervalli aperti: lì l’uguaglianza non varrebbe, perché il cinque non appartiene all’intervallo risultante:

$$(0;5)\cup (5;10)\ne (0;10)$$

La forma corretta potrebbe essere per esempio questa:

$$(0;5)\cup (5;10)=(0;10)-\{5\}$$

Quando usare un intervallo aperto

La differenza tra intervallo aperto e chiuso va capita bene. Un caso frequente in cui si usa un intervallo aperto è per esempio il dominio del logaritmo. Il logaritmo si può usare con qualsiasi numero reale positivo, il che significa che non possiamo applicarlo a un numero negativo, ma nemmeno a zero. Come lo scriviamo?

$$\mathrm{Dom}(\ln )=(0;+\mathrm{\infty })$$

Questa notazione dice che possiamo applicare il logaritmo a un numero positivo piccolo quanto vogliamo, ma non a zero. Quindi, per esempio, il numero 1 rientra nell’intervallo, e così pure 0,001, 0,0000000001 oppure 10⁻⁶⁶⁶. Ma lo zero nell’intervallo non c’è. Allo stesso modo potremmo scrivere il dominio di una funzione con una frazione, per esempio la semplice f(x) = 1/x.

$$\mathrm{Dom}f=(-\mathrm{\infty };0)\cup (0;+\mathrm{\infty })$$

Questo delimita l’insieme dei numeri reali privato dello zero. In nessuno dei due intervalli lo zero si trova al posto di un estremo chiuso, quindi non sarà presente nemmeno nell’unione finale. Possiamo però usare un numero positivo piccolo quanto vogliamo o un numero negativo grande quanto vogliamo (per i numeri negativi vale che −0,001 è maggiore di −0,1, per questo diciamo «grande quanto vogliamo» e non «piccolo quanto vogliamo»).

Interpretazione geometrica

Di solito gli intervalli si rappresentano sulla retta dei numeri come segmenti, e gli estremi si disegnano a seconda che l’intervallo sia chiuso o aperto. Se l’intervallo è chiuso, il pallino che rappresenta l’estremo è pieno; se è aperto, il pallino è vuoto, è solo un contorno, soltanto una circonferenza.

La figura seguente mostra tre intervalli, tutti da due a sei, che però differiscono per la chiusura degli estremi. In ordine, sono rappresentati questi intervalli: [2; 6], (2; 6], (2; 6).