Beregner: fødselsdagsparadokset

I en klasse sidder der 23 børn. Hvor stor er chancen for, at mindst to af dem har fødselsdag samme dag? De fleste gætter på et par procent, men i virkeligheden er den over 50 %. Det kaldes fødselsdagsparadokset. Egentlig er det slet ikke et paradoks, det er bare vores intuition, der svigter: Vi sammenligner ikke én person med de andre, men alle med alle, og i klassen er der 253 par.

Beregneren regner med et år på 365 dage og med, at der fødes lige mange mennesker hver dag.

Sådan beregnes det

Beregneren bruger formlen

$$P=1-\frac{365\cdot 364\cdot \dots \cdot (365-n+1)}{{365}^n}$$

Her er n antallet af personer.

Direkte er det svært at regne på, for to personer kan have samme fødselsdag, eller tre, eller to forskellige par … Derfor beregner vi i stedet komplementærhændelsen, nemlig at alle har fødselsdag på forskellige dage. Den første person kan have fødselsdag når som helst, den anden skal ramme en af de 364 resterende dage, den tredje en af 363 og den treogtyvende en af 343:

$$\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\cdot \dots \cdot \frac{343}{365}\approx \mathrm{0,492}7$$

Vi trækker resultatet fra 1:

$$P=1-\mathrm{0,492}7=\mathrm{0,507}3$$

Blandt 23 personer har mindst to fødselsdag samme dag med en sandsynlighed på omkring 50,73 %. Et helt andet spørgsmål er, om der er nogen, der har fødselsdag samme dag som dig. Hver af de 22 andre har en anden fødselsdag end dig med sandsynligheden $\frac{364}{365}$, så chancen er kun $1-{\left(\frac{364}{365}\right)}^{22}\approx 5,86\mathrm{\%}$.