Geburtstagsparadoxon (Rechner)

In einer Schulklasse sitzen 23 Kinder. Wie groß ist die Chance, dass mindestens zwei von ihnen am selben Tag Geburtstag haben? Die meisten Leute tippen auf ein paar Prozent, in Wirklichkeit ist es mehr als die Hälfte. Das nennt man Geburtstagsparadoxon. Ein Paradox ist es eigentlich gar nicht, die Intuition versagt nur. Man vergleicht nicht einen Menschen mit den anderen, sondern jeden mit jedem, und in der Klasse gibt es 253 Paare.

Der Rechner rechnet mit einem Jahr von 365 Tagen und damit, dass an jedem Tag gleich viele Menschen Geburtstag haben.

So wird gerechnet

Der Rechner nutzt diese Formel:

$$P=1-\frac{365\cdot 364\cdot \dots \cdot (365-n+1)}{{365}^n}$$

Dabei ist n die Anzahl der Personen.

Direkt wäre das mühsam zu rechnen, denn übereinstimmen können zwei Personen, drei oder auch zwei verschiedene Paare … Deshalb berechnen wir das Gegenereignis, also dass alle an verschiedenen Tagen Geburtstag haben. Die erste Person kann an einem beliebigen Tag Geburtstag haben, die zweite muss einen der 364 übrigen Tage treffen, die dritte einen der 363 und die dreiundzwanzigste einen der 343:

$$\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\cdot \dots \cdot \frac{343}{365}\approx \mathrm{0,492}7$$

Das ziehen wir von eins ab:

$$P=1-\mathrm{0,492}7=\mathrm{0,507}3$$

Unter 23 Personen haben mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 50,73 % mindestens zwei am selben Tag Geburtstag. Eine ganz andere Frage ist, ob jemand mit dir Geburtstag hat. Jeder der 22 anderen hat mit der Wahrscheinlichkeit $\frac{364}{365}$ einen anderen Geburtstag als du, also ist die Chance nur $1-{\left(\frac{364}{365}\right)}^{22}\approx 5,86\mathrm{\%}$.