Calcolatrice: paradosso del compleanno

In una classe ci sono 23 bambini. Qual è la probabilità che almeno due di loro abbiano il compleanno lo stesso giorno? La maggior parte delle persone pensa a qualche punto percentuale, in realtà è più della metà. Si chiama paradosso del compleanno. A dire il vero non è un paradosso: è solo che l’intuizione sbaglia. Non confrontiamo una persona con le altre, ma ognuna con tutte le altre, e in una classe le coppie sono 253.

La calcolatrice considera un anno di 365 giorni e che in ogni giorno nasca lo stesso numero di persone.

Come si calcola

La calcolatrice usa la formula

$$P=1-\frac{365\cdot 364\cdot \dots \cdot (365-n+1)}{{365}^n}$$

Qui n è il numero di persone.

Calcolarlo direttamente è complicato, perché possono coincidere due persone, tre, due coppie diverse… Calcoliamo quindi l’evento complementare, cioè che tutti abbiano il compleanno in giorni diversi. La prima persona può compiere gli anni in un giorno qualsiasi, la seconda deve cadere in uno dei 364 giorni rimasti, la terza in uno dei 363 e la ventitreesima in uno dei 343:

$$\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\cdot \dots \cdot \frac{343}{365}\approx \mathrm{0,492}7$$

Sottraiamo da uno:

$$P=1-\mathrm{0,492}7=\mathrm{0,507}3$$

Tra 23 persone, la probabilità che almeno due abbiano il compleanno lo stesso giorno è di circa il 50,73%. Tutt’altra domanda è se qualcuno festeggia il compleanno con te. Ognuna delle altre 22 persone ha il compleanno in un giorno diverso dal tuo con probabilità $\frac{364}{365}$, quindi la probabilità è solo $1-{\left(\frac{364}{365}\right)}^{22}\approx 5,86\mathrm{\%}$.