Calculator: paradoxul zilei de naștere

Într-o clasă stau 23 de copii. Care este șansa ca cel puțin doi dintre ei să aibă ziua de naștere în aceeași zi? Majoritatea oamenilor ghicesc câteva procente, dar în realitate este peste jumătate. Asta se numește paradoxul zilei de naștere. De fapt, nu este un paradox, doar intuiția ne înșală: nu comparăm o persoană cu celelalte, ci pe fiecare cu fiecare, iar în clasă există 253 de perechi.

Calculatorul consideră un an de 365 de zile și că în fiecare zi se nasc la fel de mulți oameni.

Cum se calculează

Calculatorul folosește formula

$$P=1-\frac{365\cdot 364\cdot \dots \cdot (365-n+1)}{{365}^n}$$

Aici n este numărul de persoane.

Direct s-ar calcula greu: pot coincide două persoane, trei, două perechi diferite… De aceea calculăm evenimentul contrar, adică faptul că toți au ziua de naștere în zile diferite. Primul om poate avea ziua de naștere oricând, al doilea trebuie să nimerească una din cele 364 de zile rămase, al treilea una din 363 și tot așa până la al douăzeci și treilea, care trebuie să nimerească una din cele 343:

$$\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\cdot \dots \cdot \frac{343}{365}\approx \mathrm{0,492}7$$

Scădem din unu:

$$P=1-\mathrm{0,492}7=\mathrm{0,507}3$$

Între 23 de persoane, probabilitatea ca cel puțin două să aibă ziua de naștere în aceeași zi este de aproximativ 50,73%. Cu totul altă întrebare este dacă cineva sărbătorește ziua de naștere împreună cu tine. Fiecare dintre ceilalți 22 are ziua de naștere în altă zi decât tine cu probabilitatea $\frac{364}{365}$, deci șansa este doar $1-{\left(\frac{364}{365}\right)}^{22}\approx 5,86\mathrm{\%}$.