Születésnap-paradoxon (számológép)

Egy osztályban 23 gyerek ül. Mekkora az esélye, hogy legalább kettejüknek ugyanazon a napon van a születésnapja? A legtöbb ember néhány százalékra tippel, pedig valójában több mint 50%. Ezt hívják születésnap-paradoxonnak. Igazából nem is paradoxon, csak az intuíció téved: nem egyetlen embert hasonlítunk a többihez, hanem mindenkit mindenkivel, és az osztályban ez 253 pár.

A számológép 365 napos évvel számol, és azzal, hogy minden napon egyformán sok ember születik.

A számítás menete

A számológép ezt a képletet használja:

$$P=1-\frac{365\cdot 364\cdot \dots \cdot (365-n+1)}{{365}^n}$$

Itt n az emberek száma.

Közvetlenül nehéz lenne kiszámolni, mert egyezhet kettő, három, két különböző pár… Ezért a komplementer eseményt számoljuk ki, vagyis azt, hogy mindenkinek más napon van a születésnapja. Az első embernek bármelyik nap lehet, a másodiknak a maradék 364 nap valamelyikén kell lennie, a harmadiknak a 363 nap valamelyikén, és a huszonharmadiknak a 343 nap valamelyikén:

$$\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\cdot \dots \cdot \frac{343}{365}\approx \mathrm{0,492}7$$

Ezt kivonjuk 1-ből:

$$P=1-\mathrm{0,492}7=\mathrm{0,507}3$$

A 23 ember között tehát kb. 50,73% az esélye annak, hogy legalább kettőnek ugyanazon a napon van a születésnapja. Más kérdés, hogy ugyanazon a napon ünnepel-e valaki veled. A másik 22 ember mindegyike $\frac{364}{365}$ valószínűséggel más napon születik, mint te, így az esély csak $1-{\left(\frac{364}{365}\right)}^{22}\approx 5,86\mathrm{\%}$.