Αριθμομηχανή: παράδοξο των γενεθλίων

Σε μια τάξη κάθονται 23 μαθητές. Ποια είναι η πιθανότητα να έχουν τουλάχιστον δύο από αυτούς γενέθλια την ίδια μέρα; Οι περισσότεροι μαντεύουν λίγα τοις εκατό, στην πραγματικότητα όμως είναι πάνω από 50%. Αυτό λέγεται παράδοξο των γενεθλίων. Στην ουσία δεν είναι παράδοξο, απλώς η διαίσθηση αποτυγχάνει: δεν συγκρίνουμε έναν άνθρωπο με τους υπόλοιπους, αλλά κάθε έναν με κάθε άλλον, και τα ζεύγη στην τάξη είναι 253.

Η αριθμομηχανή υπολογίζει με έτος 365 ημερών και με την υπόθεση ότι γεννιούνται εξίσου πολλοί άνθρωποι κάθε μέρα.

Πώς υπολογίζεται

Η αριθμομηχανή υπολογίζει με τον τύπο

$$P=1-\frac{365\cdot 364\cdot \dots \cdot (365-n+1)}{{365}^n}$$

όπου n είναι το πλήθος των ανθρώπων.

Άμεσα η πιθανότητα θα υπολογιζόταν δύσκολα, γιατί μπορεί να ταιριάζουν δύο άνθρωποι, τρεις, δύο διαφορετικά ζεύγη… Υπολογίζουμε λοιπόν το αντίθετο ενδεχόμενο, δηλαδή ότι όλοι έχουν γενέθλια σε διαφορετικές μέρες. Ο πρώτος άνθρωπος μπορεί να έχει γενέθλια οποιαδήποτε μέρα, ο δεύτερος πρέπει να πετύχει μία από τις 364 υπόλοιπες, ο τρίτος μία από τις 363 και ο εικοστός τρίτος μία από τις 343:

$$\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\cdot \dots \cdot \frac{343}{365}\approx \mathrm{0,492}7$$

Αφαιρούμε από τη μονάδα:

$$P=1-\mathrm{0,492}7=\mathrm{0,507}3$$

Ανάμεσα σε 23 ανθρώπους τουλάχιστον δύο έχουν γενέθλια την ίδια μέρα με πιθανότητα περίπου 50,73%. Εντελώς άλλο ερώτημα είναι αν κάποιος γιορτάζει μαζί με εσένα. Καθένας από τους 22 άλλους έχει γενέθλια σε διαφορετική μέρα από εσένα με πιθανότητα $\frac{364}{365}$, οπότε η πιθανότητα είναι μόνο $1-{\left(\frac{364}{365}\right)}^{22}\approx 5,86\mathrm{\%}$.