Calculatrice : paradoxe des anniversaires

Dans une classe de 23 élèves, quelle est la probabilité qu’au moins deux d’entre eux aient leur anniversaire le même jour ? La plupart des gens pensent qu’il s’agit de quelques pour cent ; en réalité, c’est plus de la moitié. C’est ce qu’on appelle le paradoxe des anniversaires. Ce n’est pas vraiment un paradoxe, c’est l’intuition qui se trompe : on ne compare pas une personne aux autres, mais chacun avec chacun, et il y a 253 paires dans la classe.

La calculatrice suppose une année de 365 jours et des naissances réparties uniformément sur tous les jours.

Comment on calcule

La calculatrice utilise la formule

$$P=1-\frac{365\cdot 364\cdot \dots \cdot (365-n+1)}{{365}^n}$$

où n est le nombre de personnes.

Un calcul direct serait compliqué : deux personnes peuvent partager la même date, ou trois, ou deux paires différentes… On calcule donc l’événement contraire, c’est-à-dire que tout le monde a son anniversaire un jour différent. La première personne peut avoir son anniversaire n’importe quel jour, la deuxième doit tomber sur l’un des 364 jours restants, la troisième sur l’un des 363, et la vingt-troisième sur l’un des 343 :

$$\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\cdot \dots \cdot \frac{343}{365}\approx \mathrm{0,492}7$$

On retranche ce résultat de 1 :

$$P=1-\mathrm{0,492}7=\mathrm{0,507}3$$

Parmi 23 personnes, au moins deux ont leur anniversaire le même jour avec une probabilité d’environ 50,73 %. Tout autre question : quelqu’un fête-t-il son anniversaire le même jour que toi ? Chacune des 22 autres personnes a son anniversaire un autre jour que toi avec une probabilité de $\frac{364}{365}$, donc la probabilité que l’une d’elles soit née le même jour que toi n’est que de $1-{\left(\frac{364}{365}\right)}^{22}\approx 5,86\mathrm{\%}$.