Verjaardagsparadox – rekenmachine

In een klas zitten 23 kinderen. Hoe groot is de kans dat minstens twee van hen op dezelfde dag jarig zijn? De meeste mensen schatten een paar procent, maar in werkelijkheid is het meer dan de helft. Dat heet de verjaardagsparadox. Eigenlijk is het geen paradox, alleen onze intuïtie laat ons in de steek: we vergelijken niet één persoon met de rest, maar iedereen met iedereen, en in een klas zijn er 253 paren.

De rekenmachine rekent met een jaar van 365 dagen en gaat ervan uit dat er op elke dag evenveel mensen worden geboren.

Hoe de berekening werkt

De rekenmachine rekent met de formule

$$P=1-\frac{365\cdot 364\cdot \dots \cdot (365-n+1)}{{365}^n}$$

Hier is n het aantal mensen.

Rechtstreeks berekenen is lastig: twee mensen kunnen samenvallen, drie, twee verschillende paren… We berekenen daarom de complementaire gebeurtenis, namelijk dat iedereen op een andere dag jarig is. De eerste persoon mag op elke dag jarig zijn, de tweede moet een van de 364 resterende dagen treffen, de derde een van de 363 en de drieëntwintigste een van de 343:

$$\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\cdot \dots \cdot \frac{343}{365}\approx \mathrm{0,492}7$$

Dat trekken we af van 1:

$$P=1-\mathrm{0,492}7=\mathrm{0,507}3$$

Onder 23 mensen zijn minstens twee op dezelfde dag jarig met een kans van ongeveer 50,73%. Een heel andere vraag is of iemand op dezelfde dag jarig is als jij. Elk van de 22 anderen is op een andere dag jarig dan jij met kans $\frac{364}{365}$, dus de kans is maar $1-{\left(\frac{364}{365}\right)}^{22}\approx 5,86\mathrm{\%}$.