Kalkylator: födelsedagsparadoxen

I ett klassrum sitter 23 elever. Hur stor är chansen att minst två av dem fyller år samma dag? De flesta gissar på några procent, men i själva verket är den över hälften. Det kallas födelsedagsparadoxen. Egentligen är det ingen paradox, det är bara intuitionen som sviker: vi jämför inte en person med alla andra, utan alla med alla, och i klassen finns det 253 par.

Kalkylatorn räknar med ett år på 365 dagar och med att lika många föds varje dag.

Så beräknas det

Kalkylatorn räknar med formeln

$$P=1-\frac{365\cdot 364\cdot \dots \cdot (365-n+1)}{{365}^n}$$

Här är n antalet personer.

Att beräkna det direkt vore krångligt: två personer kan ha samma födelsedag, tre personer, två olika par … Därför beräknar vi i stället komplementhändelsen, alltså att alla fyller år olika dagar. Den första personen kan fylla år vilken dag som helst, den andra måste träffa en av de 364 återstående dagarna, den tredje en av 363 och den tjugotredje en av 343:

$$\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\cdot \dots \cdot \frac{343}{365}\approx \mathrm{0,492}7$$

Vi drar bort det från ett:

$$P=1-\mathrm{0,492}7=\mathrm{0,507}3$$

Bland 23 personer fyller alltså minst två år samma dag med sannolikheten ungefär 50,73 %. En helt annan fråga är om någon fyller år samma dag som du. Var och en av de 22 andra fyller år en annan dag än du med sannolikheten $\frac{364}{365}$, så chansen är bara $1-{\left(\frac{364}{365}\right)}^{22}\approx 5,86\mathrm{\%}$.