Калькулятор: парадокс днів народження

У класі сидять 23 учні. Яка ймовірність, що принаймні двоє з них мають день народження в один і той самий день? Більшість людей називає кілька відсотків, а насправді це понад половина. Це явище називають парадоксом днів народження. Насправді це не парадокс, просто інтуїція тут підводить: ми порівнюємо не одну людину з рештою, а кожного з кожним, а таких пар у класі 253.

Калькулятор вважає, що рік має 365 днів і що в кожен день народжується однаково людей.

Як це обчислюється

Калькулятор рахує за формулою

$$P=1-\frac{365\cdot 364\cdot \dots \cdot (365-n+1)}{{365}^n}$$

Тут n — кількість людей.

Прямо рахувати було б складно, бо збігатися можуть дві людини, три, кілька різних пар… Тому порахуємо протилежну подію, тобто що всі мають дні народження в різні дні. Перша людина може народитися будь-якого дня, друга має влучити в один із 364 решти днів, третя в один із 363, і так далі до двадцять третьої, яка має влучити в один із 343:

$$\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\cdot \dots \cdot \frac{343}{365}\approx \mathrm{0,492}7$$

Віднімемо від одиниці:

$$P=1-\mathrm{0,492}7=\mathrm{0,507}3$$

Серед 23 людей принаймні двоє мають день народження в один день з ймовірністю близько 50,73 %. Зовсім інше питання — чи святкує хтось з тобою. Кожен із 22 інших має день народження не в той день, що ти, з ймовірністю $\frac{364}{365}$, тож шанс становить лише $1-{\left(\frac{364}{365}\right)}^{22}\approx 5,86\mathrm{\%}$.