Bursdagsparadokset – kalkulator

I en klasse sitter det 23 elever. Hvor stor er sjansen for at minst to av dem har bursdag samme dag? De fleste gjetter på noen få prosent, men i virkeligheten er sannsynligheten over en halv. Dette kalles bursdagsparadokset. Egentlig er det ikke noe paradoks, det er bare intuisjonen som svikter: vi sammenligner ikke én person med alle de andre, men alle med alle, og i en klasse på 23 er det 253 par.

Kalkulatoren regner med et år på 365 dager og med at det fødes like mange mennesker hver dag.

Slik regner vi det ut

Kalkulatoren regner etter formelen

$P = 1 - \frac{365 \cdot 364 \cdot \dots \cdot (365 - n + 1)}{365^{n}}$

Her er n antall personer.

Å regne dette direkte blir vanskelig: det kan være to personer som har samme bursdag, eller tre, eller to ulike par … Derfor regner vi ut sannsynligheten for den komplementære hendelsen, altså at alle har bursdag på forskjellige dager. Den første personen kan ha bursdag når som helst, den andre må treffe en av de 364 dagene som er igjen, den tredje en av 363, og den tjuetredje en av 343:

$\frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdot \frac{363}{365} \cdot \dots \cdot \frac{343}{365} \approx 0,492 7$

Vi trekker dette fra én:

$P = 1 - 0,492 7 = 0,507 3$

Blant 23 personer har minst to bursdag samme dag med en sannsynlighet på omtrent 50,73 %. Et helt annet spørsmål er om noen har bursdag samme dag som deg. Hver av de 22 andre har bursdag en annen dag enn deg med sannsynlighet $\frac{364}{365}$ , så sjansen er bare $1 - {(\frac{364}{365})}^{22} \approx 5, 86 %$ .

Kapitler: Binomialkoeffisient – kalkulator, Ordnet utvalg med tilbakelegging – kalkulator, Permutasjoner med gjentakelse – kalkulator, Kombinasjoner med gjentakelse – kalkulator, Sjansen for å vinne i lotto – kalkulator, Bursdagsparadokset – kalkulator, Sannsynlighet for minst én gang – kalkulator, Binomisk fordeling – kalkulator