Калкулатор за парадокса на рождените дни

В един клас има 23 деца. Каква е вероятността поне две от тях да имат рожден ден в един и същ ден? Повечето хора предполагат, че е няколко процента, а в действителност е над половината. Това се нарича парадокс на рождените дни. Всъщност не е парадокс, просто интуицията ни подвежда: не сравняваме един човек с останалите, а всеки с всеки, а двойките в класа са 253.

Калкулаторът приема, че годината има 365 дни и че във всеки ден се раждат равен брой хора.

Как се изчислява

Калкулаторът работи по формулата

$$P=1-\frac{365\cdot 364\cdot \dots \cdot (365-n+1)}{{365}^n}$$

Тук n е броят на хората.

Директното пресмятане е неудобно, защото могат да съвпаднат рождените дни на двама души, на трима, на две различни двойки… Затова пресмятаме противоположното събитие, т.е. всички да имат рожден ден в различни дни. Първият човек може да има рожден ден когато и да е, вторият трябва да попадне в един от останалите 364 дни, третият в един от 363, а двайсет и третият в един от 343:

$$\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\cdot \dots \cdot \frac{343}{365}\approx \mathrm{0,492}7$$

Изваждаме от единицата:

$$P=1-\mathrm{0,492}7=\mathrm{0,507}3$$

Сред 23 души поне двама имат рожден ден в един и същ ден с вероятност около 50,73%. Съвсем друг въпрос е дали някой има рожден ден в същия ден като теб. Всеки от останалите 22 има рожден ден в друг ден от твоя с вероятност $\frac{364}{365}$, така че шансът е само $1-{\left(\frac{364}{365}\right)}^{22}\approx 5,86\mathrm{\%}$.