Kalkulačka: narozeninový paradox

Ve třídě sedí 23 dětí. Jaká je šance, že aspoň dvě z nich mají narozeniny ve stejný den? Většina lidí tipuje pár procent, ve skutečnosti je to přes polovinu. Tomu se říká narozeninový paradox. Paradox to vlastně není, jen intuice selhává: neporovnáváme jednoho člověka s ostatními, ale každého s každým, a dvojic je ve třídě 253.

Kalkulačka počítá s rokem o 365 dnech a s tím, že se v každý den narodí stejně lidí.

Jak se to počítá

Kalkulačka počítá podle vzorce

$$P=1-\frac{365\cdot 364\cdot \dots \cdot (365-n+1)}{{365}^n}$$

Tady n je počet lidí.

Přímo by se to počítalo špatně, shodovat se mohou dva lidé, tři, dvě různé dvojice… Spočítáme proto doplňkový jev, tedy že mají všichni narozeniny v různé dny. První člověk může mít narozeniny kdykoli, druhý musí trefit jeden z 364 zbylých dní, třetí jeden z 363 a dvacátý třetí jeden z 343:

$$\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\cdot \dots \cdot \frac{343}{365}\doteq \mathrm{0,492}7$$

Odečteme od jedničky:

$$P=1-\mathrm{0,492}7=\mathrm{0,507}3$$

Mezi 23 lidmi mají aspoň dva narozeniny ve stejný den s pravděpodobností asi 50,73 %. Úplně jiná otázka je, jestli někdo slaví s vámi. Každý z 22 ostatních má narozeniny jindy než vy s pravděpodobností $\frac{364}{365}$, takže šance je jen $1-{\left(\frac{364}{365}\right)}^{22}\doteq 5,86\mathrm{\%}$.