Paradoja del cumpleaños (calculadora)

En una clase hay 23 alumnos. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de ellos cumplan años el mismo día? La mayoría de la gente cree que es de unos pocos por ciento, pero en realidad es más de la mitad. A esto se le llama la paradoja del cumpleaños. En realidad no es una paradoja, solo que la intuición falla: no comparamos a una persona con las demás, sino a cada una con todas las otras, y en la clase hay 253 parejas.

La calculadora parte de un año de 365 días y de que cada día tiene la misma probabilidad de ser el cumpleaños.

Cómo se calcula

La calculadora usa la fórmula

$$P=1-\frac{365\cdot 364\cdot \dots \cdot (365-n+1)}{{365}^n}$$

Aquí n es el número de personas.

Calcularlo directamente sería complicado, porque pueden coincidir dos personas, tres o varias parejas distintas. Por eso calculamos el suceso contrario, es decir, que todas cumplan años en días distintos. La primera persona puede cumplir años cualquier día; la segunda tiene que caer en uno de los 364 días restantes, la tercera en uno de los 363, y así hasta la vigesimotercera, que tiene que caer en uno de los 343:

$$\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\cdot \dots \cdot \frac{343}{365}\approx \mathrm{0,492}7$$

Lo restamos de uno:

$$P=1-\mathrm{0,492}7=\mathrm{0,507}3$$

Entre 23 personas, la probabilidad de que al menos dos cumplan años el mismo día es de aproximadamente un 50,73 %. Otra pregunta distinta es si alguien cumple años el mismo día que tú. Cada una de las otras 22 tiene probabilidad $\frac{364}{365}$ de cumplir años en un día distinto del tuyo, así que la probabilidad es solo $1-{\left(\frac{364}{365}\right)}^{22}\approx 5,86\mathrm{\%}$.