Paradoks urodzin (kalkulator)

W klasie siedzi 23 uczniów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że co najmniej dwoje z nich ma urodziny tego samego dnia? Większość ludzi zakłada, że to kilka procent, a w rzeczywistości jest to ponad połowa. Nazywa się to paradoksem urodzin. To tak naprawdę nie paradoks, intuicja po prostu zawodzi: nie porównujemy jednej osoby z resztą, tylko każdego z każdym, a par w klasie jest 253.

Kalkulator zakłada rok o 365 dniach i to, że w każdym dniu rodzi się tyle samo ludzi.

Jak to się liczy

Kalkulator liczy według wzoru

$$P=1-\frac{365\cdot 364\cdot \dots \cdot (365-n+1)}{{365}^n}$$

Tutaj n to liczba osób.

Bezpośrednio liczyłoby się to źle, bo urodziny mogą się pokrywać u dwóch osób, u trzech, w dwóch różnych parach… Dlatego policzymy zdarzenie przeciwne, czyli że wszyscy mają urodziny w różnych dniach. Pierwsza osoba może mieć urodziny w dowolnym dniu, druga musi trafić w jeden z 364 pozostałych dni, trzecia w jeden z 363, a dwudziesta trzecia w jeden z 343:

$$\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\cdot \dots \cdot \frac{343}{365}\approx \mathrm{0,492}7$$

Odejmujemy od jedynki:

$$P=1-\mathrm{0,492}7=\mathrm{0,507}3$$

Wśród 23 osób co najmniej dwie mają urodziny tego samego dnia z prawdopodobieństwem około 50,73%. Zupełnie inne pytanie to, czy ktoś obchodzi urodziny tego samego dnia co ty. Każda z 22 pozostałych osób ma urodziny w innym dniu niż ty z prawdopodobieństwem $\frac{364}{365}$, więc szansa wynosi $1-{\left(\frac{364}{365}\right)}^{22}\approx 5,86\mathrm{\%}$.