Calculadora do paradoxo do aniversário

Em uma sala de aula há 23 crianças. Qual é a chance de que pelo menos duas delas façam aniversário no mesmo dia? A maioria das pessoas chuta uns poucos por cento, mas na verdade é mais da metade. Isso se chama paradoxo do aniversário. Na verdade nem é um paradoxo, é só a intuição que falha: não comparamos uma pessoa com as outras, e sim cada uma com todas as demais, e na sala há 253 pares.

A calculadora considera um ano de 365 dias e que em cada dia nasce o mesmo número de pessoas.

Como se calcula

A calculadora usa a fórmula

$$P=1-\frac{365\cdot 364\cdot \dots \cdot (365-n+1)}{{365}^n}$$

Aqui n é o número de pessoas.

Calcular isso diretamente seria difícil: podem coincidir duas pessoas, três, dois pares diferentes… Por isso calculamos o evento complementar, ou seja, que todos façam aniversário em dias diferentes. A primeira pessoa pode fazer aniversário em qualquer dia, a segunda precisa acertar um dos 364 dias restantes, a terceira um dos 363 e a vigésima terceira um dos 343:

$$\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\cdot \dots \cdot \frac{343}{365}\approx \mathrm{0,492}7$$

Subtraímos esse resultado de 1:

$$P=1-\mathrm{0,492}7=\mathrm{0,507}3$$

Entre 23 pessoas, pelo menos duas fazem aniversário no mesmo dia com probabilidade de cerca de 50,73%. Outra pergunta, bem diferente, é se alguém faz aniversário no mesmo dia que você. Cada uma das outras 22 pessoas faz aniversário em outro dia com probabilidade $\frac{364}{365}$, então a chance é de apenas $1-{\left(\frac{364}{365}\right)}^{22}\approx 5,86\mathrm{\%}$.