Hesap Makinesi: Doğum Günü Paradoksu

Sınıfta 23 öğrenci var. Bunlardan en az ikisinin aynı günde doğum günü olma şansı nedir? Çoğu kişi yüzde birkaç diye tahmin eder, oysa gerçekte yarıdan fazladır. Buna doğum günü paradoksu denir. Aslında bu bir paradoks değil, yalnızca sezgimiz yanılıyor: bir kişiyi diğerleriyle değil, herkesi herkesle karşılaştırıyoruz ve sınıfta 253 ikili var.

Hesap makinesi yılın 365 gün olduğunu ve her güne eşit sayıda kişinin doğduğunu varsayar.

Nasıl Hesaplanır

Hesap makinesi şu formülü kullanır:

$$P=1-\frac{365\cdot 364\cdot \dots \cdot (365-n+1)}{{365}^n}$$

Burada n kişi sayısıdır.

Bunu doğrudan hesaplamak zor olurdu: doğum günü iki kişide, üç kişide ya da iki ayrı ikilide çakışabilir… Bu yüzden tümleyen olayı hesaplarız: herkesin farklı günde doğmuş olması. İlk kişi herhangi bir günde doğabilir; ikinci kişi kalan 364 günden birini seçmeli, üçüncü 363 günden birini, yirmi üçüncü kişi ise 343 günden birini:

$$\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\cdot \dots \cdot \frac{343}{365}\approx \mathrm{0,492}7$$

Birden çıkarırız:

$$P=1-\mathrm{0,492}7=\mathrm{0,507}3$$

23 kişi arasında en az ikisinin aynı günde doğum günü olma olasılığı yaklaşık %50,73’tür. Bambaşka bir soru da birinin seninle aynı gün doğup doğmadığıdır. Diğer 22 kişinin her birinin senden farklı bir günde doğmuş olma olasılığı $\frac{364}{365}$ olduğundan, en az birinin seninle aynı günde doğmuş olma olasılığı $1-{\left(\frac{364}{365}\right)}^{22}\approx 5,86\mathrm{\%}$.