Ορισμένο ολοκλήρωμα

Το ορισμένο ολοκλήρωμα χρησιμεύει για να μετράμε το εμβαδόν σχημάτων που περιγράφονται από μια συνάρτηση.

Κίνητρο

Έστω η συνάρτηση $f(x)=\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }(x)+\frac{x}{4}$. Θα μπορούσαμε τώρα να ρωτήσουμε – πόσο μεγάλο είναι το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη της γραφικής παράστασης από το σημείο a = 0 έως το σημείο b = 10; Μας ενδιαφέρει δηλαδή το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τον άξονα x'x, την καμπύλη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και τις κατακόρυφες ευθείες στα σημεία a και b. Όλα συνοψίζονται στο σχήμα:

Μας ενδιαφέρει το εμβαδόν του μπλε επισημασμένου χωρίου. Πώς θα το προσδιορίσουμε; Μπορούμε να χωρίσουμε ολόκληρο το μπλε χωρίο σε αρκετά μικρότερα χωρία, μετά να υπολογίσουμε τα εμβαδά αυτών των μικρότερων χωρίων και να προσθέσουμε όλα αυτά τα επιμέρους εμβαδά. Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν των μικρότερων χωρίων, πρέπει το καθένα να έχει ένα λογικό σχήμα, ώστε να υπολογίσουμε το εμβαδόν με κάποιον τύπο. Το πιο βολικό είναι το ορθογώνιο.

Πρώτα επιλέγουμε μια γνησίως αύξουσα ακολουθία σημείων x₀ έως x_n τέτοια ώστε x₀ = a, x_n = b. Όσο μεγαλύτερο το n, τόσο ακριβέστερο το αποτέλεσμα. Επιλέγουμε την απλή ακολουθία x₀ = 0, x₁ = 1, x₂ = 2, …, x₁₀ = 10. Από τα διαδοχικά σημεία φτιάχνουμε διαστήματα [x_{i − 1}, x_i], δηλαδή παίρνουμε το σύνολο διαστημάτων

$$D=\{[0,1],[1,2],[2,3],\dots ,[9,10]\}$$

Το πρώτο διάστημα το συμβολίζουμε D₁, το δεύτερο D₂, κ.ο.κ. Στη συνέχεια βρίσκουμε τις ελάχιστες τιμές της συνάρτησης f σε κάθε διάστημα D_i. Για παράδειγμα στο D₁ η συνάρτηση f έχει ελάχιστη τιμή για x = 0 και f(0) = 0. Στο D₂ η μικρότερη τιμή είναι στο σημείο x = 1 και $f(1)=\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }(1)+\frac{1}{4}\approx \mathrm{1,091}5$. Κ.ο.κ. Αυτές τις τιμές της συνάρτησης τις σημειώνουμε. Τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης στο διάστημα D_i τη συμβολίζουμε m_i. Άρα m₁ = 0, m₂ ≈ 1,0915 κ.ο.κ.

Τώρα σχεδιάζουμε στη γραφική παράσταση ορθογώνια. Το i-οστό ορθογώνιο θα έχει πλάτος x_i − x_{i − 1} και ύψος m_i:

Βλέπουμε ότι σε κάθε διάστημα αντιστοιχεί ένα ορθογώνιο, που βρίσκεται ολόκληρο κάτω από την καμπύλη, αλλά ταυτόχρονα είναι το ψηλότερο δυνατό. Το ύψος κάθε ορθογωνίου στο i-οστό διάστημα είναι ακριβώς m_i. Αν τώρα προσθέταμε τα εμβαδά αυτών των ορθογωνίων, θα παίρναμε μια προσεγγιστική εκτίμηση του μεγέθους του εμβαδού κάτω από την καμπύλη. Όσο περισσότερα ορθογώνια σχεδιάσουμε κάτω από την καμπύλη, τόσο ακριβέστερη εκτίμηση παίρνουμε. Το εμβαδόν του i-οστού ορθογωνίου θα το υπολογίζαμε ως s_i = m_i · (x_i − x_{i − 1}), άρα το άθροισμα όλων των ορθογωνίων θα ήταν:

$$s=\sum _{i=1}^{10}{m}_i\cdot (x_i-x_{i-1})$$

Μπορούμε να προχωρήσουμε και αντίστροφα: αντί να παίρνουμε κάθε φορά την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης στο διάστημα D_i, παίρνουμε τη μέγιστη. Αυτές τις τιμές της συνάρτησης θα τις συμβολίζαμε M_i. Τα ορθογώνια θα έμοιαζαν τότε ως εξής:

Πάλι σε κάθε διάστημα αντιστοιχεί ένα ορθογώνιο και αυτό έχει πάντα ύψος M_i. Η πάνω πλευρά του ορθογωνίου αγγίζει την καμπύλη πάντα μόνο στα τοπικά μέγιστα του συγκεκριμένου διαστήματος. Προσθέτοντας τα εμβαδά των επιμέρους ορθογωνίων θα παίρναμε μια ακόμη εκτίμηση του εμβαδού κάτω από την καμπύλη. Αυτό το εμβαδόν θα το υπολογίζαμε ως

$$S=\sum _{i=1}^{10}{M}_i\cdot (x_i-x_{i-1})$$

Πάλι ισχύει ότι αν αυξήσουμε τον αριθμό των ορθογωνίων, παίρνουμε ακριβέστερη εκτίμηση.

Εισάγουμε τις έννοιες κάτω και άνω άθροισμα. Λέμε ότι το s(D, f) είναι το κάτω άθροισμα και η τιμή του είναι ίση με

$$s(D,f)=\sum _{i=1}^n{m}_i\cdot (x_i-x_{i-1}),$$

όπου η f είναι συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [a, b], όπου x₀ = a, x_n = b, η D είναι η διαμέριση του διαστήματος [a, b] σε μικρότερα διαστήματα και το n είναι ο αριθμός αυτών των διαστημάτων. Το άνω άθροισμα το συμβολίζουμε S(D, f) και είναι ίσο με:

$$S(D,f)=\sum _{i=1}^n{M}_i\cdot (x_i-x_{i-1}),$$

όπου η f είναι συνάρτηση και η D διαμέριση του διαστήματος [a, b] σε n διαστήματα.

Ταυτόχρονα όμως, απλοποιημένα, ισχύει ότι όσο μεγαλύτερη είναι η D, τόσο πιο κοντά είναι οι τιμές s(D, f) και S(D, f), μέχρι που κάπου στο άπειρο θα γίνουν ίσες. Ισχύει λοιπόν ότι υπάρχει μοναδικός πραγματικός αριθμός A τέτοιος ώστε

$$s(D,f)\le A\le S(D,f)$$

για όλες τις δυνατές διαμερίσεις D. Τι αριθμός είναι το A; Ο αριθμός A είναι ακριβώς το εμβαδόν του χωρίου κάτω από την καμπύλη, επειδή είναι η μοναδική τιμή που είναι μεγαλύτερη ή ίση από το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων κάτω από την καμπύλη και ταυτόχρονα μικρότερη ή ίση από το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων «πάνω από την καμπύλη».

Ορισμός του ορισμένου ολοκληρώματος

Από το προηγούμενο κεφάλαιο ξέρουμε ότι για συνεχή συνάρτηση f στο διάστημα [a, b] ισχύει s(D, f) ≤ A ≤ S(D, f) για όλες τις διαμερίσεις D. Αυτός ο αριθμός A ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνάρτησης f από το a έως το b. Χρησιμοποιούμε τότε το συμβολισμό

$$A={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x.$$

Το θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού μας λέει επιπλέον ότι ισχύει αυτή η σχέση:

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a),$$

όπου η F είναι παράγουσα της συνάρτησης f. Το δεύτερο μέλος της ισότητας γράφεται μερικές φορές και ως εξής:

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={[F(x)]}_a^b$$

Η γεωμετρική σημασία του ορισμένου ολοκληρώματος είναι λοιπόν, όπως ήδη αναφέραμε, το εμβαδόν του χωρίου κάτω από την καμπύλη μιας μη αρνητικής συνάρτησης f. Ξεκινήσαμε με τη συνάρτηση $f(x)=\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }(x)+\frac{x}{4}$, οπότε ας προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν του χωρίου στο διάστημα [0, 10]. Υπολογίζουμε λοιπόν το ορισμένο ολοκλήρωμα

$${\int }_0^{10}\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }(x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x$$

Πρώτα ολοκληρώνουμε τη συνάρτηση f:

$$\begin{array}{rcl}\int \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }(x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x& =& \int \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }(x)\mathrm{d}x+\int \frac{x}{4}\mathrm{d}x\\ & =& -\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }(x)+c_1+\frac{x^2}{8}+c_2\\ & =& \frac{x^2}{8}-\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }(x)+c_1+c_2\end{array}$$

Η παράγουσα F έχει λοιπόν τη μορφή $F(x)=\frac{x^2}{8}-\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }(x)+c$. Γράφουμε αναλυτικά το ορισμένο ολοκλήρωμα:

$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{10}\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }(x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x& =& F(10)-F(0)\\ & =& \frac{{10}^2}{8}-\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }(10)+c-(\frac{0^2}{8}-\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }(0)+c)\\ & =& \frac{100}{8}-\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }(10)+\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }(0)+c-c\\ & \approx & 12,5+\mathrm{0,839}+1\\ & \approx & \mathrm{14,339}\end{array}$$

Το προσεγγιστικό εμβαδόν του χωρίου κάτω από την καμπύλη στο διάστημα [0, 10] είναι 14,339.