Bestemt integral

Det bestemte integral bruges til at måle størrelsen af arealet af figurer, som er beskrevet ved en eller anden funktion.

Motivation

Lad os have givet funktionen $f(x)=\sin (x)+\frac{x}{4}$. Nu kunne vi spørge — hvor stort er arealet under grafens kurve fra punktet a = 0 til punktet b = 10? Vi interesserer os altså for størrelsen af det areal, der er afgrænset af x-aksen, grafens kurve for funktionen f og de lodrette linjer i punkterne a og b. Det hele opsummeres på figuren:

Vi interesserer os for størrelsen af det areal, der er fremhævet med blåt. Hvordan ville vi bestemme det? Vi kan gå frem sådan, at vi deler hele det blå areal op i flere mindre arealer og derefter beregner arealerne af disse mindre områder og lægger alle disse delarealer sammen. For at vi kan beregne arealet af de mindre områder, skal hvert mindre område have en fornuftig form, så vi kan beregne arealet ved hjælp af en eller anden formel. Det nærliggende valg er rektanglet.

Først vælger vi en strengt voksende talfølge af punkter x₀ til x_n, således at x₀ = a, x_n = b. Jo større n, desto mere præcist resultat får vi. Vi vælger den enkle talfølge x₀ = 0, x₁ = 1, x₂ = 2, …, x₁₀ = 10. Af nabopunkterne danner vi intervaller [x_{i − 1}; x_i], dvs. vi får mængden af intervaller

$$D=\{[0;1],[1;2],[2;3],\dots ,[9;10]\}$$

Det første interval betegner vi D₁, det andet D₂ osv. Videre finder vi funktionen f's mindste værdier i hvert interval D_i. For eksempel har funktionen f i D₁ sin mindste værdi for x = 0, og f(0) = 0. I D₂ er den laveste værdi i punktet x = 1, og $f(1)=\sin (1)+\frac{1}{4}\approx \mathrm{1,091}5$. Osv. Disse funktionsværdier markerer vi. Den laveste funktionsværdi i intervallet D_i betegner vi m_i. Altså m₁ = 0, m₂ ≈ 1,0915 osv.

Nu tegner vi rektangler ind i grafen. Det i-te rektangel får bredden x_i − x_{i − 1} og højden m_i:

Vi ser, at hvert interval har ét rektangel, som ligger helt under kurven, men samtidig er så højt som muligt. Højden af hvert rektangel i det i-te interval er netop m_i. Hvis vi nu lagde arealerne af disse rektangler sammen, ville vi få et tilnærmet skøn over størrelsen af arealet under kurven. Jo flere rektangler vi tegner under kurven, desto mere præcist skøn får vi. Arealet af det i-te rektangel ville vi beregne som s_i = m_i · (x_i − x_{i − 1}), så summen af alle rektangler ville så være:

$$s=\sum _{i=1}^{10}{m}_i\cdot (x_i-x_{i-1})$$

Vi kan gå frem omvendt: I stedet for altid at tage den mindste funktionsværdi på intervallet D_i tager vi den største funktionsværdi. Disse funktionsværdier ville vi betegne M_i. Rektanglerne ville så se sådan ud:

Igen har hvert interval ét rektangel, og det har altid højden M_i. Rektanglets øverste side rører kurven kun i de lokale maksima i det givne interval. Ved at lægge arealerne af de enkelte rektangler sammen ville vi få endnu et skøn over størrelsen af arealet under kurven. Dette areal ville vi beregne som

$$S=\sum _{i=1}^{10}{M}_i\cdot (x_i-x_{i-1})$$

Igen gælder det, at hvis vi øgede antallet af rektangler, får vi et mere præcist skøn.

Vi indfører begreberne undersum og oversum. Vi siger, at s(D, f) er undersummen, og dens værdi er lig med

$$s(D,f)=\sum _{i=1}^n{m}_i\cdot (x_i-x_{i-1}),$$

hvor f er en kontinuert funktion på intervallet [a; b], hvor x₀ = a, x_n = b, D er inddelingen af intervallet [a; b] i mindre intervaller, og n er antallet af disse intervaller. Oversummen betegner vi S(D, f), og den er lig med:

$$S(D,f)=\sum _{i=1}^n{M}_i\cdot (x_i-x_{i-1}),$$

hvor f er funktionen, og D er inddelingen af intervallet [a; b] i n intervaller.

Samtidig gælder det dog, groft sagt, at jo større D er, desto tættere ligger værdierne s(D, f) og S(D, f) på hinanden, indtil de et sted i det uendelige bliver lig med hinanden. Der gælder således, at der findes ét eneste reelt tal A, så

$$s(D,f)\le A\le S(D,f)$$

for alle mulige inddelinger D. Hvad er A for et tal? Tallet A er netop arealet under kurven, for det er den eneste værdi, som er større end eller lig med summen af arealerne af rektanglerne under kurven og samtidig mindre end eller lig med summen af arealerne af rektanglerne »over kurven«.

Definition af det bestemte integral

Fra det foregående afsnit ved vi, at der for en kontinuert funktion f på intervallet [a; b] gælder s(D, f) ≤ A ≤ S(D, f) for alle inddelinger D. Dette tal A kaldes det bestemte integral af funktionen f fra a til b. Vi bruger så betegnelsen

$$A={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x.$$

Analysens fundamentalsætning fortæller os videre, at der gælder denne sammenhæng:

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a),$$

hvor F er en stamfunktion til funktionen f. Den højre del af ligningen skrives af og til også sådan:

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={[F(x)]}_a^b$$

Den geometriske betydning af det bestemte integral er så det allerede nævnte areal under kurven for en ikke-negativ funktion f. Vi begyndte med funktionen $f(x)=\sin (x)+\frac{x}{4}$, så vi prøver at beregne arealet på intervallet [0; 10]. Vi beregner altså det bestemte integral

$${\int }_0^{10}\sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x$$

Først finder vi en stamfunktion til funktionen f:

$$\begin{array}{rcl}\int \sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x& =& \int \sin (x)\mathrm{d}x+\int \frac{x}{4}\mathrm{d}x\\ & =& -\cos (x)+k_1+\frac{x^2}{8}+k_2\\ & =& \frac{x^2}{8}-\cos (x)+k_1+k_2\end{array}$$

Stamfunktionen F har altså formen $F(x)=\frac{x^2}{8}-\cos (x)+k$. Vi skriver det bestemte integral op:

$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{10}\sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x& =& F(10)-F(0)\\ & =& \frac{{10}^2}{8}-\cos (10)+k-(\frac{0^2}{8}-\cos (0)+k)\\ & =& \frac{100}{8}-\cos (10)+\cos (0)+k-k\\ & \approx & 12,5+\mathrm{0,839}+1\\ & \approx & \mathrm{14,339}\end{array}$$

Det tilnærmede areal under kurven på intervallet [0; 10] er 14,339.