Bestämd integral

Den bestämda integralen används för att mäta arean av figurer som beskrivs av en funktion.

Motivering

Låt funktionen vara $f(x)=\sin (x)+\frac{x}{4}$. Nu kan vi fråga oss — hur stor är arean under grafen från punkten a = 0 till punkten b = 10? Vi är alltså intresserade av storleken på det område som begränsas av x-axeln, grafen till funktionen f och de lodräta linjerna i punkterna a och b. Figuren sammanfattar allt:

Vi är intresserade av storleken på det blåmarkerade området. Hur kan vi bestämma den? Vi kan gå tillväga så att vi delar upp hela det blå området i flera mindre områden, sedan beräknar vi areorna av de mindre områdena och adderar alla delareor. För att kunna beräkna arean av de mindre områdena måste de ha en rimlig form, så att vi kan räkna ut arean med någon formel. Det naturliga valet är rektangeln.

Först väljer vi en strängt växande följd av punkter x₀ till x_n sådana att x₀ = a, x_n = b. Ju större n, desto noggrannare resultat får vi. Vi väljer den enkla följden x₀ = 0, x₁ = 1, x₂ = 2, …, x₁₀ = 10. Av intilliggande punkter bildar vi intervallen [x_{i − 1}, x_i], det vill säga vi får mängden av intervall

$$D=\{[0,1],[1,2],[2,3],\dots ,[9,10]\}$$

Det första intervallet kallar vi D₁, det andra D₂ osv. Därefter hittar vi det minsta värdet av funktionen f i varje intervall D_i. Till exempel har funktionen f i D₁ sitt minsta värde för x = 0 och f(0) = 0. I D₂ finns det lägsta värdet i punkten x = 1 och $f(1)=\sin (1)+\frac{1}{4}\approx \mathrm{1,091}5$. Osv. De här funktionsvärdena markerar vi. Det lägsta funktionsvärdet i intervallet D_i kallar vi m_i. Alltså m₁ = 0, m₂ ≈ 1,0915 osv.

Nu ritar vi in rektanglar i grafen. Den i:te rektangeln får bredden x_i − x_{i − 1} och höjden m_i:

Vi ser att varje intervall har en rektangel som ligger helt under kurvan men samtidigt är så hög som möjligt. Höjden på varje rektangel i det i:te intervallet är just m_i. Om vi nu adderade areorna av rektanglarna skulle vi få en ungefärlig uppskattning av arean under kurvan. Ju fler rektanglar vi ritar under kurvan, desto noggrannare uppskattning får vi. Arean av den i:te rektangeln skulle vi beräkna som s_i = m_i · (x_i − x_{i − 1}), så summan av alla rektanglar skulle vara:

$$s=\sum _{i=1}^{10}{m}_i\cdot (x_i-x_{i-1})$$

Vi kan gå tillväga tvärtom: i stället för att alltid ta det minsta funktionsvärdet i intervallet D_i tar vi det största funktionsvärdet. De här funktionsvärdena skulle vi kalla M_i. Rektanglarna skulle då se ut så här:

Återigen har varje intervall en rektangel och den har alltid höjden M_i. Rektangelns översida berör kurvan bara i de lokala maximipunkterna i intervallet. Genom att addera areorna av de enskilda rektanglarna skulle vi få ytterligare en uppskattning av storleken på arean under kurvan. Den arean skulle vi beräkna som

$$S=\sum _{i=1}^{10}{M}_i\cdot (x_i-x_{i-1})$$

Återigen gäller att om vi ökar antalet rektanglar får vi en noggrannare uppskattning.

Vi inför begreppen undersumma och översumma. Vi säger att s(D, f) är undersumman och dess värde är lika med

$$s(D,f)=\sum _{i=1}^n{m}_i\cdot (x_i-x_{i-1}),$$

där f är en kontinuerlig funktion på intervallet [a, b], där x₀ = a, x_n = b, D är en indelning av intervallet [a, b] i mindre intervall och n är antalet sådana intervall. Översumman betecknar vi S(D, f) och den är lika med:

$$S(D,f)=\sum _{i=1}^n{M}_i\cdot (x_i-x_{i-1}),$$

där f är funktionen och D en indelning av intervallet [a, b] i n intervall.

Samtidigt gäller, förenklat sagt, att ju finare indelningen D är, desto närmare varandra ligger värdena s(D, f) och S(D, f), tills de någonstans i oändligheten blir lika. Det gäller alltså att det finns ett enda reellt tal A sådant att

$$s(D,f)\le A\le S(D,f)$$

för alla möjliga indelningar D. Vad är då A för tal? Talet A är just arean under kurvan, eftersom det är det enda värde som är större än eller lika med summan av areorna av rektanglarna under kurvan och samtidigt mindre än eller lika med summan av areorna av rektanglarna ”ovanför kurvan”.

Definition av bestämd integral

Från föregående kapitel vet vi att för en kontinuerlig funktion f på intervallet [a, b] gäller s(D, f) ≤ A ≤ S(D, f) för alla indelningar D. Det här talet A kallas den bestämda integralen av funktionen f från a till b. Vi använder då beteckningen

$$A={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x.$$

Integralkalkylens fundamentalsats säger oss vidare att följande samband gäller:

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a),$$

där F är en primitiv funktion till funktionen f. Högerledet skrivs ibland också så här:

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={[F(x)]}_a^b$$

Den geometriska betydelsen av den bestämda integralen är alltså den redan nämnda arean under kurvan till en icke-negativ funktion f. Vi började med funktionen $f(x)=\sin (x)+\frac{x}{4}$, så vi provar att beräkna arean i intervallet [0, 10]. Vi beräknar alltså den bestämda integralen

$${\int }_0^{10}\sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x$$

Först integrerar vi funktionen f:

$$\begin{array}{rcl}\int \sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x& =& \int \sin (x)\mathrm{d}x+\int \frac{x}{4}\mathrm{d}x\\ & =& -\cos (x)+C_1+\frac{x^2}{8}+C_2\\ & =& \frac{x^2}{8}-\cos (x)+C_1+C_2\end{array}$$

Den primitiva funktionen F har alltså formen $F(x)=\frac{x^2}{8}-\cos (x)+C$. Vi skriver ut den bestämda integralen:

$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{10}\sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x& =& F(10)-F(0)\\ & =& \frac{{10}^2}{8}-\cos (10)+C-(\frac{0^2}{8}-\cos (0)+C)\\ & =& \frac{100}{8}-\cos (10)+\cos (0)+C-C\\ & \approx & 12,5+\mathrm{0,839}+1\\ & \approx & \mathrm{14,339}\end{array}$$

Den ungefärliga arean under kurvan på intervallet [0, 10] är 14,339.