Határozott integrál

A határozott integrál valamilyen függvénnyel leírt alakzatok területének mérésére szolgál.

Motiváció

Adott az $f(x)=\sin (x)+\frac{x}{4}$ függvény. Feltehetjük a kérdést – mekkora a grafikon görbéje alatti terület az a = 0 ponttól a b = 10 pontig? Minket tehát az a síkrész érdekel, amelyet az x tengely, az f függvény grafikonjának görbéje és az a és b pontban húzott függőleges egyenesek határolnak. Az ábra mindezt összefoglalja:

A kékkel kiemelt terület nagysága érdekel minket. Hogyan határozhatnánk meg? Eljárhatunk úgy, hogy az egész kék területet több kisebb részre osztjuk, majd kiszámítjuk ezeknek a kisebb részeknek a területét, és az összes részterületet összeadjuk. Ahhoz, hogy a kisebb részek területét ki tudjuk számítani, ezeknek ésszerű alakúaknak kell lenniük, hogy valamilyen képlettel kiszámíthassuk a területüket. Kézenfekvő választás a téglalap.

Először megválasztjuk az x₀-tól x_n-ig tartó növekvő pontsorozatot úgy, hogy x₀ = a, x_n = b. Minél nagyobb az n, annál pontosabb eredményt kapunk. Válasszunk egy egyszerű sorozatot: x₀ = 0, x₁ = 1, x₂ = 2, …, x₁₀ = 10. A szomszédos pontokból intervallumokat képezünk: [x_{i − 1}; x_i], vagyis megkapjuk az intervallumok halmazát

$$D=\{[0;1],[1;2],[2;3],\dots ,[9;10]\}$$

Az első intervallumot D₁-gyel jelöljük, a másodikat D₂-vel, és így tovább. Ezután megkeressük az f függvény minimális értékét minden D_i intervallumban. Például a D₁-ben az f függvény minimális értéke x = 0-nál van, és f(0) = 0. A D₂-ben a legkisebb érték az x = 1 pontban van, és $f(1)=\sin (1)+\frac{1}{4}\approx \mathrm{1,091}5$. És így tovább. Ezeket a függvényértékeket megjelöljük. A D_i intervallumbeli legkisebb függvényértéket m_i-vel jelöljük. Tehát m₁ = 0, m₂ ≈ 1,0915 stb.

Most berajzoljuk a téglalapokat a grafikonba. Az i-edik téglalap szélessége x_i − x_{i − 1}, magassága pedig m_i:

Látjuk, hogy minden intervallumhoz tartozik egy téglalap, amely teljes egészében a görbe alatt van, de egyúttal a legmagasabb ilyen. Az i-edik intervallumban a téglalap magassága éppen m_i. Ha most összeadnánk ezeknek a téglalapoknak a területét, közelítő becslést kapnánk a görbe alatti terület nagyságára. Minél több téglalapot rajzolunk a görbe alá, annál pontosabb becslést kapunk. Az i-edik téglalap területét s_i = m_i · (x_i − x_{i − 1}) módon számítanánk ki, tehát az összes téglalap területének összege:

$$s=\sum _{i=1}^{10}{m}_i\cdot (x_i-x_{i-1})$$

Eljárhatunk fordítva is: ahelyett, hogy mindig a D_i intervallumbeli minimális függvényértéket vennénk, a legnagyobb függvényértéket vesszük. Ezeket a függvényértékeket M_i-vel jelölnénk. A téglalapok ekkor így néznének ki:

Megint minden intervallumhoz tartozik egy téglalap, amelynek magassága mindig M_i. A téglalap felső oldala mindig csak az adott intervallum lokális maximumainál érinti a görbét. A téglalapok területeinek összeadásával újabb becslést kapnánk a görbe alatti terület nagyságára. Ezt a területet így számítanánk ki:

$$S=\sum _{i=1}^{10}{M}_i\cdot (x_i-x_{i-1})$$

Megint igaz, hogy ha növeljük a téglalapok számát, pontosabb becslést kapunk.

Bevezetjük az alsó és felső integrálközelítő összeg fogalmát. Azt mondjuk, hogy s(D, f) az alsó integrálközelítő összeg, és értéke

$$s(D,f)=\sum _{i=1}^n{m}_i\cdot (x_i-x_{i-1}),$$

ahol f az [a; b] intervallumon folytonos függvény, ahol x₀ = a, x_n = b, D az [a; b] intervallum felosztása kisebb intervallumokra, n pedig ezeknek az intervallumoknak a száma. A felső integrálközelítő összeget S(D, f)-fel jelöljük, és értéke:

$$S(D,f)=\sum _{i=1}^n{M}_i\cdot (x_i-x_{i-1}),$$

ahol f a függvény, D pedig az [a; b] intervallum felosztása n intervallumra.

Ugyanakkor – leegyszerűsítve – az is igaz, hogy minél finomabb a D felosztás, annál közelebb vannak egymáshoz az s(D, f) és S(D, f) értékei, míg végül valahol a végtelenben egyenlővé nem válnak. Így igaz, hogy létezik egyetlen olyan A valós szám, amelyre

$$s(D,f)\le A\le S(D,f)$$

minden lehetséges D felosztásra. Mi ez az A szám? Az A szám éppen a görbe alatti terület, mert ez az egyetlen érték, amely nagyobb vagy egyenlő a görbe alatti téglalapok területeinek összegénél, és egyúttal kisebb vagy egyenlő a „görbe feletti” téglalapok területeinek összegénél.

A határozott integrál definíciója

Az előző fejezetből tudjuk, hogy az [a; b] intervallumon folytonos f függvényre minden D felosztás esetén fennáll, hogy s(D, f) ≤ A ≤ S(D, f). Ezt az A számot nevezzük az f függvény a-tól b-ig vett határozott integráljának. A jelölése ekkor

$$A={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x.$$

A Newton–Leibniz-formula továbbá azt mondja, hogy fennáll a következő összefüggés:

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a),$$

ahol F az f függvény primitív függvénye. Az egyenlet jobb oldalát néha így is írják:

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={[F(x)]}_a^b$$

A határozott integrál geometriai jelentése tehát a már említett terület a nemnegatív f függvény görbéje alatt. Az $f(x)=\sin (x)+\frac{x}{4}$ függvénnyel kezdtük, ezért próbáljuk meg kiszámítani a területet a [0; 10] intervallumon. Kiszámítjuk tehát a határozott integrált

$${\int }_0^{10}\sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x$$

Először integráljuk az f függvényt:

$$\begin{array}{rcl}\int \sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x& =& \int \sin (x)\mathrm{d}x+\int \frac{x}{4}\mathrm{d}x\\ & =& -\cos (x)+c_1+\frac{x^2}{8}+c_2\\ & =& \frac{x^2}{8}-\cos (x)+c_1+c_2\end{array}$$

Az F primitív függvény tehát $F(x)=\frac{x^2}{8}-\cos (x)+c$ alakú. Felírjuk a határozott integrált:

$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{10}\sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x& =& F(10)-F(0)\\ & =& \frac{{10}^2}{8}-\cos (10)+c-(\frac{0^2}{8}-\cos (0)+c)\\ & =& \frac{100}{8}-\cos (10)+\cos (0)+c-c\\ & \approx & 12,5+\mathrm{0,839}+1\\ & \approx & \mathrm{14,339}\end{array}$$

A görbe alatti terület közelítő értéke a [0; 10] intervallumon 14,339.