Bestimmtes Integral

Das bestimmte Integral dient dazu, den Flächeninhalt von Figuren zu messen, die durch eine Funktion beschrieben werden.

Motivation

Gegeben sei die Funktion $f(x)=\sin (x)+\frac{x}{4}$. Nun könnten wir fragen – wie groß ist die Fläche unter dem Graphen von der Stelle a = 0 bis zur Stelle b = 10? Uns interessiert also der Flächeninhalt der Fläche, die von der x-Achse, dem Graphen der Funktion f und den senkrechten Geraden an den Stellen a und b begrenzt wird. Alles fasst die Abbildung zusammen:

Uns interessiert der Flächeninhalt der blau hervorgehobenen Fläche. Wie würden wir ihn bestimmen? Wir können so vorgehen, dass wir die ganze blaue Fläche in mehrere kleinere Flächen zerlegen, dann die Flächeninhalte dieser kleineren Flächen berechnen und alle diese Teilinhalte addieren. Damit wir den Flächeninhalt der kleineren Flächen berechnen können, muss jede dieser Flächen eine vernünftige Form haben, sodass wir den Flächeninhalt mit einer Formel berechnen können. Es bietet sich das Rechteck an.

Als Erstes wählen wir eine streng monoton steigende Folge von Stellen x₀ bis x_n, sodass x₀ = a, x_n = b. Je größer n, desto genauer wird das Ergebnis. Wir wählen die einfache Folge x₀ = 0, x₁ = 1, x₂ = 2, …, x₁₀ = 10. Aus benachbarten Stellen bilden wir die Intervalle [x_{i − 1}; x_i], d. h. wir erhalten die Menge von Intervallen

$$D=\{[0;1],[1;2],[2;3],\dots ,[9;10]\}$$

Das erste Intervall bezeichnen wir mit D₁, das zweite mit D₂ usw. Weiter bestimmen wir die minimalen Werte der Funktion f in jedem Intervall D_i. Zum Beispiel hat die Funktion f in D₁ den minimalen Wert für x = 0 und f(0) = 0. In D₂ liegt der niedrigste Wert an der Stelle x = 1 und $f(1)=\sin (1)+\frac{1}{4}\approx \mathrm{1,091}5$. Usw. Diese Funktionswerte kennzeichnen wir. Den niedrigsten Funktionswert im Intervall D_i bezeichnen wir mit m_i. Also m₁ = 0, m₂ ≈ 1,0915 usw.

Nun zeichnen wir Rechtecke in den Graphen ein. Das i-te Rechteck hat die Breite x_i − x_{i − 1} und die Höhe m_i:

Wir sehen, dass zu jedem Intervall ein Rechteck gehört, das ganz unter dem Graphen liegt, aber zugleich möglichst hoch ist. Die Höhe jedes Rechtecks im i-ten Intervall ist genau m_i. Wenn wir nun die Flächeninhalte dieser Rechtecke addieren würden, erhielten wir eine Näherung für den Flächeninhalt unter dem Graphen. Je mehr Rechtecke wir unter den Graphen zeichnen, desto genauer wird die Näherung. Den Flächeninhalt des i-ten Rechtecks würden wir als s_i = m_i · (x_i − x_{i − 1}) berechnen, die Summe aller Rechtecke wäre dann:

$$s=\sum _{i=1}^{10}{m}_i\cdot (x_i-x_{i-1})$$

Wir können auch umgekehrt vorgehen: Statt immer den minimalen Funktionswert im Intervall D_i zu nehmen, nehmen wir den größten Funktionswert. Diese Funktionswerte würden wir mit M_i bezeichnen. Die Rechtecke sähen dann so aus:

Wieder gehört zu jedem Intervall ein Rechteck und es hat immer die Höhe M_i. Die obere Seite des Rechtecks berührt den Graphen immer nur an den lokalen Maxima des jeweiligen Intervalls. Durch Addieren der Flächeninhalte der einzelnen Rechtecke erhielten wir eine weitere Näherung für den Flächeninhalt unter dem Graphen. Diesen Flächeninhalt würden wir berechnen als

$$S=\sum _{i=1}^{10}{M}_i\cdot (x_i-x_{i-1})$$

Wieder gilt: Wenn wir die Anzahl der Rechtecke vergrößern, erhalten wir eine genauere Näherung.

Wir führen die Begriffe Untersumme und Obersumme ein. Wir sagen, dass s(D, f) die Untersumme ist und ihr Wert gleich

$$s(D,f)=\sum _{i=1}^n{m}_i\cdot (x_i-x_{i-1}),$$

ist, wobei f eine stetige Funktion auf dem Intervall [a; b] ist, x₀ = a, x_n = b gilt, D eine Zerlegung des Intervalls [a; b] in kleinere Intervalle ist und n die Anzahl dieser Intervalle. Die Obersumme bezeichnen wir mit S(D, f) und sie ist gleich:

$$S(D,f)=\sum _{i=1}^n{M}_i\cdot (x_i-x_{i-1}),$$

wobei f eine Funktion und D eine Zerlegung des Intervalls [a; b] in n Intervalle ist.

Dabei gilt aber, vereinfacht gesagt: Je feiner D wird, desto näher kommen sich die Werte s(D, f) und S(D, f), bis sie irgendwo im Unendlichen gleich sind. Es gilt also, dass es genau eine reelle Zahl A gibt, sodass

$$s(D,f)\le A\le S(D,f)$$

für alle möglichen Zerlegungen D. Was ist A für eine Zahl? Die Zahl A ist genau der Flächeninhalt der Fläche unter dem Graphen, denn das ist der einzige Wert, der größer oder gleich der Summe der Flächeninhalte der Rechtecke unter dem Graphen und zugleich kleiner oder gleich der Summe der Flächeninhalte der Rechtecke „über dem Graphen“ ist.

Definition des bestimmten Integrals

Aus dem vorigen Kapitel wissen wir, dass für eine stetige Funktion f auf dem Intervall [a; b] gilt: s(D, f) ≤ A ≤ S(D, f) für alle Zerlegungen D. Diese Zahl A heißt bestimmtes Integral der Funktion f von a bis b. Wir verwenden dann die Bezeichnung

$$A={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x.$$

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung sagt uns weiter, dass diese Beziehung gilt:

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a),$$

wobei F eine Stammfunktion der Funktion f ist. Die rechte Seite der Gleichung wird manchmal auch so geschrieben:

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={[F(x)]}_a^b$$

Die geometrische Bedeutung des bestimmten Integrals ist dann der bereits erwähnte Flächeninhalt unter dem Graphen einer nichtnegativen Funktion f. Wir haben mit der Funktion $f(x)=\sin (x)+\frac{x}{4}$ begonnen, also versuchen wir, den Flächeninhalt im Intervall [0; 10] zu berechnen. Wir berechnen also das bestimmte Integral

$${\int }_0^{10}\sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x$$

Als Erstes integrieren wir die Funktion f:

$$\begin{array}{rcl}\int \sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x& =& \int \sin (x)\mathrm{d}x+\int \frac{x}{4}\mathrm{d}x\\ & =& -\cos (x)+c_1+\frac{x^2}{8}+c_2\\ & =& \frac{x^2}{8}-\cos (x)+c_1+c_2\end{array}$$

Die Stammfunktion F hat also die Form $F(x)=\frac{x^2}{8}-\cos (x)+c$. Wir schreiben das bestimmte Integral aus:

$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{10}\sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x& =& F(10)-F(0)\\ & =& \frac{{10}^2}{8}-\cos (10)+c-(\frac{0^2}{8}-\cos (0)+c)\\ & =& \frac{100}{8}-\cos (10)+\cos (0)+c-c\\ & \approx & 12,5+\mathrm{0,839}+1\\ & \approx & \mathrm{14,339}\end{array}$$

Der ungefähre Flächeninhalt unter dem Graphen im Intervall [0; 10] beträgt 14,339.