Integral definida

La integral definida sirve para medir el área de figuras descritas por una función.

Motivación

Sea la función $f(x)=\mathrm{sen}(x)+\frac{x}{4}$. Podríamos preguntarnos: ¿cuál es el área bajo la curva de la gráfica desde el punto a = 0 hasta el punto b = 10? Nos interesa, por tanto, el área limitada por el eje x, la curva de la gráfica de la función f y las rectas verticales en los puntos a y b. Todo queda resumido en la figura:

Nos interesa el área destacada en azul. ¿Cómo la determinaríamos? Podemos proceder así: dividimos toda el área azul en varias áreas más pequeñas, después calculamos las áreas de estas partes más pequeñas y sumamos todas esas áreas parciales. Para calcular el área de las partes más pequeñas, cada una de ellas tiene que tener una forma razonable, de modo que podamos calcular el área con alguna fórmula. Lo que se nos ofrece es el rectángulo.

Primero elegimos una sucesión creciente de puntos x₀ a x_n tales que x₀ = a, x_n = b. Cuanto mayor sea n, más preciso será el resultado. Elegimos la sucesión sencilla x₀ = 0, x₁ = 1, x₂ = 2, …, x₁₀ = 10. Con los puntos contiguos formamos intervalos [x_{i − 1}, x_i], es decir, obtenemos el conjunto de intervalos

$$D=\{[0,1],[1,2],[2,3],\dots ,[9,10]\}$$

Al primer intervalo lo llamamos D₁, al segundo D₂, etc. A continuación hallamos los valores mínimos de la función f en cada intervalo D_i. Por ejemplo, en D₁ la función f alcanza el mínimo en x = 0 y f(0) = 0. En D₂ el valor más bajo está en el punto x = 1 y $f(1)=\mathrm{sen}(1)+\frac{1}{4}\approx \mathrm{1,091}5$. Etc. Anotamos estos valores de la función. El valor más bajo de la función en el intervalo D_i lo llamamos m_i. Así que m₁ = 0, m₂ ≈ 1,0915, etc.

Ahora dibujamos en la gráfica los rectángulos. El i-ésimo rectángulo tendrá base x_i − x_{i − 1} y altura m_i:

Vemos que a cada intervalo le corresponde un rectángulo que queda entero bajo la curva, pero que a la vez es el más alto posible. La altura de cada rectángulo en el i-ésimo intervalo es precisamente m_i. Si sumáramos ahora las áreas de estos rectángulos, obtendríamos una estimación aproximada del área bajo la curva. Cuantos más rectángulos dibujemos bajo la curva, más precisa será la estimación. El área del i-ésimo rectángulo la calcularíamos como s_i = m_i · (x_i − x_{i − 1}), así que la suma de todos los rectángulos sería:

$$s=\sum _{i=1}^{10}{m}_i\cdot (x_i-x_{i-1})$$

Podemos proceder al revés: en lugar de tomar siempre el valor mínimo de la función en el intervalo D_i, tomamos el valor máximo. Estos valores de la función los llamaríamos M_i. Los rectángulos tendrían entonces este aspecto:

De nuevo a cada intervalo le corresponde un rectángulo y este tiene siempre altura M_i. El lado superior del rectángulo toca la curva siempre solo en los máximos locales del intervalo correspondiente. Sumando las áreas de los distintos rectángulos obtendríamos otra estimación del área bajo la curva. Esta área la calcularíamos como

$$S=\sum _{i=1}^{10}{M}_i\cdot (x_i-x_{i-1})$$

De nuevo se cumple que, si aumentáramos el número de rectángulos, obtendríamos una estimación más precisa.

Introducimos los conceptos de suma inferior y suma superior. Decimos que s(D, f) es la suma inferior y su valor es igual a

$$s(D,f)=\sum _{i=1}^n{m}_i\cdot (x_i-x_{i-1}),$$

donde f es una función continua en el intervalo [a, b], donde x₀ = a, x_n = b, D es la partición del intervalo [a, b] en intervalos más pequeños y n es el número de estos intervalos. La suma superior la denotamos S(D, f) y es igual a:

$$S(D,f)=\sum _{i=1}^n{M}_i\cdot (x_i-x_{i-1}),$$

donde f es la función y D la partición del intervalo [a, b] en n intervalos.

Al mismo tiempo, dicho de forma simplificada, se cumple que cuanto mayor es D, más se acercan los valores de s(D, f) y S(D, f), hasta que en el infinito acaban siendo iguales. Se cumple, por tanto, que existe un único número real A tal que

$$s(D,f)\le A\le S(D,f)$$

para todas las particiones D posibles. ¿Qué número es A? El número A es precisamente el área bajo la curva, porque es el único valor que es a la vez mayor o igual que la suma de las áreas de los rectángulos bajo la curva y menor o igual que la suma de las áreas de los rectángulos «sobre la curva».

Definición de la integral definida

Del capítulo anterior sabemos que para una función continua f en el intervalo [a, b] se cumple s(D, f) ≤ A ≤ S(D, f) para todas las particiones D. Este número A se llama integral definida de la función f desde a hasta b. Usamos entonces la notación

$$A={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x.$$

La regla de Barrow nos dice además que se cumple esta relación:

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a),$$

donde F es una primitiva de la función f. El miembro derecho de la ecuación se escribe a veces también así:

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={[F(x)]}_a^b$$

El significado geométrico de la integral definida es entonces, como ya hemos mencionado, el área bajo la curva de una función f no negativa. Hemos empezado con la función $f(x)=\mathrm{sen}(x)+\frac{x}{4}$, así que probaremos a calcular el área en el intervalo [0, 10]. Calculamos, por tanto, la integral definida

$${\int }_0^{10}\mathrm{sen}(x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x$$

Primero integramos la función f:

$$\begin{array}{rcl}\int \mathrm{sen}(x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x& =& \int \mathrm{sen}(x)\mathrm{d}x+\int \frac{x}{4}\mathrm{d}x\\ & =& -\cos (x)+c_1+\frac{x^2}{8}+c_2\\ & =& \frac{x^2}{8}-\cos (x)+c_1+c_2\end{array}$$

La primitiva F tiene, por tanto, la forma $F(x)=\frac{x^2}{8}-\cos (x)+c$. Desarrollamos la integral definida:

$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{10}\mathrm{sen}(x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x& =& F(10)-F(0)\\ & =& \frac{{10}^2}{8}-\cos (10)+c-(\frac{0^2}{8}-\cos (0)+c)\\ & =& \frac{100}{8}-\cos (10)+\cos (0)+c-c\\ & \approx & 12,5+\mathrm{0,839}+1\\ & \approx & \mathrm{14,339}\end{array}$$

El área aproximada bajo la curva en el intervalo [0, 10] es 14,339.