Integrala definită

Integrala definită servește la măsurarea ariei figurilor descrise de o funcție.

Motivație

Fie funcția $f(x)=\sin (x)+\frac{x}{4}$. Ne-am putea întreba – cât de mare este aria regiunii de sub graficul funcției, de la punctul a = 0 până la punctul b = 10? Ne interesează deci aria subgraficului, adică a regiunii mărginite de axa Ox, de graficul funcției f și de dreptele verticale în punctele a și b. Totul este rezumat în figură:

Ne interesează aria evidențiată cu albastru. Cum am determina-o? Putem proceda astfel: împărțim întreaga regiune albastră în mai multe regiuni mai mici, apoi calculăm ariile acestor regiuni mai mici și adunăm toate aceste arii parțiale. Pentru a calcula aria unei regiuni mai mici, ea trebuie să aibă o formă rezonabilă, ca să putem calcula aria cu ajutorul unei formule. Cel mai la îndemână este dreptunghiul.

Mai întâi alegem un șir crescător de puncte x₀ până la x_n astfel încât x₀ = a, x_n = b. Cu cât n este mai mare, cu atât obținem un rezultat mai precis. Alegem un șir simplu x₀ = 0, x₁ = 1, x₂ = 2, …, x₁₀ = 10. Din punctele vecine formăm intervalele [x_{i − 1}, x_i], adică obținem mulțimea de intervale

$$D=\{[0,1],[1,2],[2,3],\dots ,[9,10]\}$$

Primul interval îl notăm D₁, al doilea D₂ etc. Apoi găsim valorile minime ale funcției f pe fiecare interval D_i. De exemplu, pe D₁ funcția f are valoarea minimă pentru x = 0 și f(0) = 0. Pe D₂ cea mai mică valoare este în punctul x = 1 și $f(1)=\sin (1)+\frac{1}{4}\approx \mathrm{1,091}5$. Etc. Aceste valori ale funcției le notăm. Cea mai mică valoare a funcției pe intervalul D_i o notăm m_i. Deci m₁ = 0, m₂ ≈ 1,0915 etc.

Acum desenăm dreptunghiurile în grafic. Al i-lea dreptunghi va avea lățimea x_i − x_{i − 1} și înălțimea m_i:

Vedem că fiecărui interval îi corespunde un dreptunghi care se află în întregime sub grafic, dar este în același timp cel mai înalt posibil. Înălțimea fiecărui dreptunghi de pe al i-lea interval este tocmai m_i. Dacă am aduna acum ariile acestor dreptunghiuri, am obține o estimare aproximativă a ariei subgraficului. Cu cât desenăm mai multe dreptunghiuri sub grafic, cu atât obținem o estimare mai precisă. Aria celui de-al i-lea dreptunghi am calcula-o ca s_i = m_i · (x_i − x_{i − 1}), deci suma ariilor tuturor dreptunghiurilor ar fi:

$$s=\sum _{i=1}^{10}{m}_i\cdot (x_i-x_{i-1})$$

Putem proceda și invers: în loc să luăm de fiecare dată valoarea minimă a funcției pe intervalul D_i, luăm cea mai mare valoare. Aceste valori le-am nota M_i. Dreptunghiurile ar arăta atunci astfel:

Din nou fiecărui interval îi corespunde un dreptunghi, care are de fiecare dată înălțimea M_i. Latura de sus a dreptunghiului atinge graficul de fiecare dată doar în maximele locale ale intervalului respectiv. Adunând ariile dreptunghiurilor am obține o altă estimare a ariei subgraficului. Această arie am calcula-o ca

$$S=\sum _{i=1}^{10}{M}_i\cdot (x_i-x_{i-1})$$

Din nou este valabil că, dacă mărim numărul de dreptunghiuri, obținem o estimare mai precisă.

Introducem noțiunile de sumă Darboux inferioară și superioară. Spunem că s(D, f) este suma Darboux inferioară și valoarea ei este egală cu

$$s(D,f)=\sum _{i=1}^n{m}_i\cdot (x_i-x_{i-1}),$$

unde f este o funcție continuă pe intervalul [a, b], unde x₀ = a, x_n = b, D este o diviziune a intervalului [a, b] în intervale mai mici, iar n este numărul acestor intervale. Suma Darboux superioară o notăm S(D, f) și este egală cu:

$$S(D,f)=\sum _{i=1}^n{M}_i\cdot (x_i-x_{i-1}),$$

unde f este funcția, iar D o diviziune a intervalului [a, b] în n intervale.

În același timp, spus simplificat, este valabil că, cu cât diviziunea D este mai fină, cu atât valorile s(D, f) și S(D, f) sunt mai apropiate, până când ajung să fie egale undeva la infinit. Este valabil deci că există un singur număr real A astfel încât

$$s(D,f)\le A\le S(D,f)$$

pentru toate diviziunile posibile D. Ce număr este A? Numărul A este tocmai aria subgraficului, pentru că este singura valoare care este mai mare sau egală cu suma ariilor dreptunghiurilor de sub grafic și în același timp mai mică sau egală cu suma ariilor dreptunghiurilor „de deasupra graficului”.

Definiția integralei definite

Din capitolul precedent știm că pentru o funcție continuă f pe intervalul [a, b] este valabil s(D, f) ≤ A ≤ S(D, f) pentru toate diviziunile D. Acest număr A se numește integrala definită a funcției f de la a la b. Folosim apoi notația

$$A={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x.$$

Formula Leibniz–Newton ne spune în continuare că este valabilă această relație:

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a),$$

unde F este primitiva funcției f. Membrul drept al egalității se scrie uneori și astfel:

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={[F(x)]}_a^b$$

Semnificația geometrică a integralei definite este deci aria, amintită deja, a subgraficului unei funcții nenegative f. Am început cu funcția $f(x)=\sin (x)+\frac{x}{4}$, așa că încercăm să calculăm aria pe intervalul [0, 10]. Calculăm deci integrala definită

$${\int }_0^{10}\sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x$$

Mai întâi integrăm funcția f:

$$\begin{array}{rcl}\int \sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x& =& \int \sin (x)\mathrm{d}x+\int \frac{x}{4}\mathrm{d}x\\ & =& -\cos (x)+C_1+\frac{x^2}{8}+C_2\\ & =& \frac{x^2}{8}-\cos (x)+C_1+C_2\end{array}$$

Primitiva F are deci forma $F(x)=\frac{x^2}{8}-\cos (x)+C$. Dezvoltăm integrala definită:

$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{10}\sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x& =& F(10)-F(0)\\ & =& \frac{{10}^2}{8}-\cos (10)+C-(\frac{0^2}{8}-\cos (0)+C)\\ & =& \frac{100}{8}-\cos (10)+\cos (0)+C-C\\ & \approx & 12,5+\mathrm{0,839}+1\\ & \approx & \mathrm{14,339}\end{array}$$

Aria aproximativă a subgraficului pe intervalul [0, 10] este 14,339.