Määrätty integraali

Määrättyä integraalia käytetään sellaisten kuvioiden pinta-alan mittaamiseen, jotka kuvataan jonkin funktion avulla.

Motivaatio

Olkoon annettu funktio $f(x)=\sin (x)+\frac{x}{4}$. Voitaisiin kysyä – kuinka suuri on kuvaajan alle jäävä pinta-ala pisteestä a = 0 pisteeseen b = 10? Kiinnostuksen kohteena on siis pinta-ala, jota rajoittavat x-akseli, funktion f kuvaaja ja pystysuorat suorat pisteissä a ja b. Kaikki tämä näkyy kuvasta:

Kiinnostuksen kohteena on sinisellä korostetun alueen pinta-ala. Miten se määritettäisiin? Voidaan edetä niin, että koko sininen alue jaetaan useampaan pienempään alueeseen, lasketaan näiden pienempien alueiden pinta-alat ja lasketaan kaikki osapinta-alat yhteen. Jotta pienempien alueiden pinta-ala voidaan laskea jollakin kaavalla, näillä pienemmillä alueilla täytyy olla järkevä muoto. Luonteva valinta on suorakulmio.

Valitaan ensin aidosti kasvava pistejono x₀:sta x_n:ään siten, että x₀ = a, x_n = b. Mitä suurempi n, sitä tarkempi tulos saadaan. Valitaan yksinkertainen pistejono x₀ = 0, x₁ = 1, x₂ = 2, …, x₁₀ = 10. Vierekkäisistä pisteistä muodostetaan välit [x_{i − 1}, x_i], eli saadaan välien joukko

$$D=\{[0,1],[1,2],[2,3],\dots ,[9,10]\}$$

Ensimmäistä väliä merkitään D₁, toista D₂ jne. Seuraavaksi etsitään funktion f pienimmät arvot jokaisella välillä D_i. Esimerkiksi välillä D₁ funktion f pienin arvo saadaan, kun x = 0, ja f(0) = 0. Välillä D₂ pienin arvo on pisteessä x = 1 ja $f(1)=\sin (1)+\frac{1}{4}\approx \mathrm{1,091}5$. Jne. Nämä funktion arvot merkitään muistiin. Pienintä funktion arvoa välillä D_i merkitään m_i. Siis m₁ = 0, m₂ ≈ 1,0915 jne.

Nyt kuvaajaan piirretään suorakulmiot. i:s suorakulmio on leveydeltään x_i − x_{i − 1} ja korkeudeltaan m_i:

Nähdään, että jokaista väliä vastaa yksi suorakulmio, joka on kokonaan kuvaajan alapuolella mutta samalla mahdollisimman korkea. Jokaisen i:nnen välin suorakulmion korkeus on juuri m_i. Jos nyt lasketaan näiden suorakulmioiden pinta-alat yhteen, saadaan likimääräinen arvio kuvaajan alle jäävän pinta-alan suuruudesta. Mitä useampia suorakulmioita kuvaajan alle piirretään, sitä tarkempi arvio saadaan. i:nnen suorakulmion pinta-ala laskettaisiin lausekkeella s_i = m_i · (x_i − x_{i − 1}), joten kaikkien suorakulmioiden summa olisi:

$$s=\sum _{i=1}^{10}{m}_i\cdot (x_i-x_{i-1})$$

Voidaan edetä myös päinvastoin: sen sijaan, että otettaisiin aina funktion pienin arvo välillä D_i, otetaan suurin arvo. Nämä funktion arvot merkittäisiin M_i. Suorakulmiot näyttäisivät silloin tältä:

Jälleen jokaista väliä vastaa yksi suorakulmio, ja sen korkeus on aina M_i. Suorakulmion yläreuna sivuaa kuvaajaa aina vain kyseisen välin paikallisissa maksimikohdissa. Laskemalla suorakulmioiden pinta-alat yhteen saataisiin toinen arvio kuvaajan alle jäävän pinta-alan suuruudesta. Tämä pinta-ala laskettaisiin lausekkeella

$$S=\sum _{i=1}^{10}{M}_i\cdot (x_i-x_{i-1})$$

Jälleen pätee, että suorakulmioiden määrää kasvattamalla saadaan tarkempi arvio.

Otetaan käyttöön käsitteet alasumma ja yläsumma. Sanotaan, että s(D, f) on alasumma ja sen arvo on

$$s(D,f)=\sum _{i=1}^n{m}_i\cdot (x_i-x_{i-1}),$$

missä f on jatkuva funktio välillä [a, b], x₀ = a, x_n = b, D on välin [a, b] jako pienempiin väleihin ja n on näiden välien lukumäärä. Yläsummaa merkitään S(D, f), ja se on:

$$S(D,f)=\sum _{i=1}^n{M}_i\cdot (x_i-x_{i-1}),$$

missä f on funktio ja D on välin [a, b] jako n väliin.

Yksinkertaistaen kuitenkin pätee, että mitä tiheämpi jako D on, sitä lähempänä toisiaan arvot s(D, f) ja S(D, f) ovat, kunnes ne jossain äärettömyydessä ovat yhtä suuret. Pätee siis, että on olemassa täsmälleen yksi reaaliluku A, jolle

$$s(D,f)\le A\le S(D,f)$$

kaikilla mahdollisilla jaoilla D. Mikä luku A on? Luku A on juuri kuvaajan alle jäävän pinta-alan suuruus, koska se on ainoa arvo, joka on suurempi tai yhtä suuri kuin kuvaajan alla olevien suorakulmioiden pinta-alojen summa ja samalla pienempi tai yhtä suuri kuin kuvaajan ”yläpuolella” olevien suorakulmioiden pinta-alojen summa.

Määrätyn integraalin määritelmä

Edellisestä luvusta tiedetään, että jatkuvalle funktiolle f välillä [a, b] pätee s(D, f) ≤ A ≤ S(D, f) kaikilla jaoilla D. Tätä lukua A kutsutaan funktion f määrätyksi integraaliksi a:sta b:hen. Tällöin merkitään

$$A={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x.$$

Analyysin peruslause kertoo lisäksi, että pätee seuraava yhtälö:

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a),$$

missä F on funktion f integraalifunktio. Yhtälön oikea puoli kirjoitetaan joskus myös näin:

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={[F(x)]}_a^b$$

Määrätyn integraalin geometrinen merkitys on siis jo mainittu ei-negatiivisen funktion f kuvaajan alle jäävä pinta-ala. Aloitettiin funktiosta $f(x)=\sin (x)+\frac{x}{4}$, joten kokeillaan laskea pinta-ala välillä [0, 10]. Lasketaan siis määrätty integraali

$${\int }_0^{10}\sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x$$

Ensin integroidaan funktio f:

$$\begin{array}{rcl}\int \sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x& =& \int \sin (x)\mathrm{d}x+\int \frac{x}{4}\mathrm{d}x\\ & =& -\cos (x)+c_1+\frac{x^2}{8}+c_2\\ & =& \frac{x^2}{8}-\cos (x)+c_1+c_2\end{array}$$

Integraalifunktio F on siis muotoa $F(x)=\frac{x^2}{8}-\cos (x)+c$. Kirjoitetaan määrätty integraali auki:

$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{10}\sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x& =& F(10)-F(0)\\ & =& \frac{{10}^2}{8}-\cos (10)+c-(\frac{0^2}{8}-\cos (0)+c)\\ & =& \frac{100}{8}-\cos (10)+\cos (0)+c-c\\ & \approx & 12,5+\mathrm{0,839}+1\\ & \approx & \mathrm{14,339}\end{array}$$

Kuvaajan alle jäävän alueen likimääräinen pinta-ala välillä [0, 10] on 14,339.