Belirli İntegral

Belirli integral, bir fonksiyonla tanımlanan şekillerin alanını ölçmeye yarar.

Motivasyon

$f(x)=\sin (x)+\frac{x}{4}$ fonksiyonu verilmiş olsun. Şimdi şunu sorabiliriz — grafiğin eğrisi altında, a = 0 noktasından b = 10 noktasına kadar kalan alan ne kadardır? Yani x ekseni, f fonksiyonunun grafiğinin eğrisi ve a ile b noktalarındaki düşey doğrular tarafından sınırlanan bölgenin alanını merak ediyoruz. Şekil her şeyi özetliyor:

Mavi renkle gösterilen alanın büyüklüğünü merak ediyoruz. Bunu nasıl belirleriz? Mavi alanın tamamını birkaç küçük alana ayırabilir, sonra bu küçük alanların her birini hesaplayıp bütün bu parça alanları toplayabiliriz. Küçük alanları hesaplayabilmemiz için bu alanların, alanını bir formülle bulabileceğimiz makul bir şekli olmalı. Akla dikdörtgen geliyor.

Önce x₀ = a, x_n = b olacak şekilde x₀’dan x_n’ye kadar artan bir nokta dizisi seçeriz. n ne kadar büyükse sonuç o kadar kesin çıkar. Basit bir dizi seçelim: x₀ = 0, x₁ = 1, x₂ = 2, …, x₁₀ = 10. Komşu noktalardan [x_{i − 1}, x_i] aralıklarını oluştururuz, yani şu aralıklar kümesini elde ederiz:

$$D=\{[0,1],[1,2],[2,3],\dots ,[9,10]\}$$

Birinci aralığa D₁, ikinciye D₂ deriz, böyle devam eder. Sonra f fonksiyonunun her D_i aralığındaki en küçük değerini buluruz. Örneğin D₁ aralığında f fonksiyonunun en küçük değeri x = 0 için alınır ve f(0) = 0 olur. D₂ aralığında en küçük değer x = 1 noktasındadır ve $f(1)=\sin (1)+\frac{1}{4}\approx \mathrm{1,091}5$ bulunur. Böyle devam eder. Bu fonksiyon değerlerini adlandıralım. D_i aralığındaki en küçük fonksiyon değerine m_i diyelim. Yani m₁ = 0, m₂ ≈ 1,0915 vb.

Şimdi grafiğe dikdörtgenleri çizelim. i numaralı dikdörtgenin genişliği x_i − x_{i − 1}, yüksekliği m_i olacak:

Her aralığa bir dikdörtgen düştüğünü, bu dikdörtgenin tamamen eğrinin altında kaldığını ama aynı zamanda mümkün olan en yüksek dikdörtgen olduğunu görüyoruz. i numaralı aralıktaki dikdörtgenin yüksekliği tam olarak m_i’dir. Bu dikdörtgenlerin alanlarını toplasak eğrinin altındaki alan için yaklaşık bir tahmin elde ederiz. Eğrinin altına ne kadar çok dikdörtgen çizersek tahmin o kadar kesin olur. i numaralı dikdörtgenin alanını s_i = m_i · (x_i − x_{i − 1}) olarak hesaplarız; bütün dikdörtgenlerin alanları toplamı da şöyle olur:

$$s=\sum _{i=1}^{10}{m}_i\cdot (x_i-x_{i-1})$$

Tersini de yapabiliriz: D_i aralığında her seferinde en küçük fonksiyon değerini almak yerine en büyük fonksiyon değerini alırız. Bu fonksiyon değerlerine M_i diyelim. Dikdörtgenler o zaman şöyle görünür:

Yine her aralığa bir dikdörtgen düşer ve yüksekliği her zaman M_i’dir. Dikdörtgenin üst kenarı eğriye yalnızca ilgili aralığın yerel maksimumlarında değer. Dikdörtgenlerin alanlarını toplayarak eğrinin altındaki alan için bir tahmin daha elde ederiz. Bu alanı şöyle hesaplarız:

$$S=\sum _{i=1}^{10}{M}_i\cdot (x_i-x_{i-1})$$

Yine dikdörtgen sayısını artırırsak tahmin daha kesin olur.

Alt ve üst toplam kavramlarını tanıtalım. s(D, f) alt toplamdır ve değeri şuna eşittir:

$$s(D,f)=\sum _{i=1}^n{m}_i\cdot (x_i-x_{i-1}),$$

burada f, [a, b] aralığında sürekli fonksiyon, x₀ = a, x_n = b, D ise [a, b] aralığının daha küçük aralıklara parçalanışı, n de bu aralıkların sayısıdır. Üst toplamı S(D, f) ile gösteririz ve şuna eşittir:

$$S(D,f)=\sum _{i=1}^n{M}_i\cdot (x_i-x_{i-1}),$$

burada f bir fonksiyon, D ise [a, b] aralığının n aralığa parçalanışıdır.

Ayrıca, kabaca söylersek, D ne kadar inceyse s(D, f) ile S(D, f) değerleri birbirine o kadar yaklaşır ve sonsuzda bir yerde eşit olurlar. Yani şu eşitsizliği sağlayan tek bir gerçek sayı A vardır:

$$s(D,f)\le A\le S(D,f)$$

Bu, olası bütün D parçalanışları için geçerlidir. A nasıl bir sayıdır? A sayısı tam olarak eğrinin altındaki alandır, çünkü eğrinin altındaki dikdörtgenlerin alanları toplamından büyük ya da ona eşit, aynı zamanda eğrinin “üstündeki” dikdörtgenlerin alanları toplamından küçük ya da ona eşit olan tek değer odur.

Belirli İntegralin Tanımı

Önceki bölümden biliyoruz ki [a, b] aralığında sürekli bir f fonksiyonu için bütün D parçalanışlarında s(D, f) ≤ A ≤ S(D, f) olur. Bu A sayısına f fonksiyonunun a’dan b’ye belirli integrali denir. Gösterimi şöyledir:

$$A={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x.$$

Newton–Leibniz formülü ise bize şu bağıntıyı verir:

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a),$$

burada F, f fonksiyonunun ilkel fonksiyonudur. Eşitliğin sağ tarafı bazen şöyle de yazılır:

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={[F(x)]}_a^b$$

Belirli integralin geometrik anlamı, daha önce söylediğimiz gibi, negatif olmayan f fonksiyonunun eğrisi altındaki alandır. $f(x)=\sin (x)+\frac{x}{4}$ fonksiyonuyla başlamıştık; şimdi [0, 10] aralığındaki alanı hesaplamayı deneyelim. Yani şu belirli integrali hesaplarız:

$${\int }_0^{10}\sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x$$

Önce f fonksiyonunun integralini alırız:

$$\begin{array}{rcl}\int \sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x& =& \int \sin (x)\mathrm{d}x+\int \frac{x}{4}\mathrm{d}x\\ & =& -\cos (x)+C_1+\frac{x^2}{8}+C_2\\ & =& \frac{x^2}{8}-\cos (x)+C_1+C_2\end{array}$$

İlkel fonksiyon F böylece $F(x)=\frac{x^2}{8}-\cos (x)+C$ biçimindedir. Belirli integrali açalım:

$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{10}\sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x& =& F(10)-F(0)\\ & =& \frac{{10}^2}{8}-\cos (10)+C-(\frac{0^2}{8}-\cos (0)+C)\\ & =& \frac{100}{8}-\cos (10)+\cos (0)+C-C\\ & \approx & 12,5+\mathrm{0,839}+1\\ & \approx & \mathrm{14,339}\end{array}$$

[0, 10] aralığında eğrinin altındaki alan yaklaşık 14,339’dur.