Integrale definito

L’integrale definito serve a misurare l’area di figure descritte da una funzione.

Motivazione

Sia data la funzione $f(x)=\mathrm{sen}(x)+\frac{x}{4}$. Potremmo ora chiederci: quanto è grande l’area sotto la curva del grafico dal punto a = 0 al punto b = 10? Ci interessa quindi l’area delimitata dall’asse x, dalla curva del grafico della funzione f e dalle rette verticali nei punti a e b. La figura riassume tutto:

Ci interessa l’area evidenziata in blu. Come la determiniamo? Possiamo procedere così: dividiamo l’intera area blu in alcune aree più piccole, poi calcoliamo le aree di queste parti più piccole e sommiamo tutte queste aree parziali. Per poter calcolare l’area delle parti più piccole con una formula, ciascuna di esse deve avere una forma ragionevole. La scelta più naturale è il rettangolo.

Come prima cosa scegliamo una successione crescente di punti da x₀ a x_n tali che x₀ = a, x_n = b. Più grande è n, più preciso sarà il risultato. Scegliamo la successione semplice x₀ = 0, x₁ = 1, x₂ = 2, …, x₁₀ = 10. Dai punti vicini formiamo gli intervalli [x_{i − 1}; x_i], cioè otteniamo l’insieme di intervalli

$$D=\{[0;1],[1;2],[2;3],\dots ,[9;10]\}$$

Il primo intervallo lo indichiamo con D₁, il secondo con D₂, e così via. Poi troviamo i valori minimi della funzione f in ciascun intervallo D_i. Per esempio in D₁ la funzione f ha il valore minimo per x = 0 e f(0) = 0. In D₂ il valore più basso si ha nel punto x = 1 e $f(1)=\mathrm{sen}(1)+\frac{1}{4}\approx \mathrm{1,091}5$. Eccetera. Contrassegniamo questi valori della funzione. Il valore più basso della funzione nell’intervallo D_i lo indichiamo con m_i. Quindi m₁ = 0, m₂ ≈ 1,0915 eccetera.

Ora disegniamo nel grafico dei rettangoli. L’i-esimo rettangolo avrà base x_i − x_{i − 1} e altezza m_i:

Vediamo che a ogni intervallo corrisponde un rettangolo che sta tutto sotto la curva, ma allo stesso tempo è il più alto possibile. L’altezza di ogni rettangolo nell’i-esimo intervallo è proprio m_i. Se ora sommassimo le aree di questi rettangoli, otterremmo una stima approssimata dell’area sotto la curva. Più rettangoli disegniamo sotto la curva, più precisa sarà la stima. L’area dell’i-esimo rettangolo si calcolerebbe come s_i = m_i · (x_i − x_{i − 1}), quindi la somma di tutti i rettangoli sarebbe:

$$s=\sum _{i=1}^{10}{m}_i\cdot (x_i-x_{i-1})$$

Possiamo procedere al contrario: invece di prendere sempre il valore minimo della funzione nell’intervallo D_i, prendiamo il valore massimo. Indichiamo questi valori della funzione con M_i. I rettangoli sarebbero allora così:

Di nuovo a ogni intervallo corrisponde un rettangolo, che ha sempre altezza M_i. Il lato superiore del rettangolo tocca la curva sempre e solo nei massimi relativi dell’intervallo considerato. Sommando le aree dei singoli rettangoli otterremmo un’altra stima dell’area sotto la curva. Questa area la calcoleremmo come

$$S=\sum _{i=1}^{10}{M}_i\cdot (x_i-x_{i-1})$$

Anche qui vale che, se aumentassimo il numero di rettangoli, otterremmo una stima più precisa.

Introduciamo i concetti di somma inferiore e somma superiore. Diciamo che s(D, f) è la somma inferiore e il suo valore è uguale a

$$s(D,f)=\sum _{i=1}^n{m}_i\cdot (x_i-x_{i-1}),$$

dove f è una funzione continua nell’intervallo [a; b], con x₀ = a, x_n = b, D è la partizione dell’intervallo [a; b] in intervalli più piccoli e n è il numero di questi intervalli. La somma superiore la indichiamo con S(D, f) ed è uguale a:

$$S(D,f)=\sum _{i=1}^n{M}_i\cdot (x_i-x_{i-1}),$$

dove f è una funzione e D una partizione dell’intervallo [a; b] in n intervalli.

Allo stesso tempo, detto in modo semplificato, vale che quanto più fine è la partizione D, tanto più i valori s(D, f) e S(D, f) si avvicinano, finché da qualche parte all’infinito diventeranno uguali. Vale quindi che esiste un unico numero reale A tale che

$$s(D,f)\le A\le S(D,f)$$

per tutte le possibili partizioni D. Che numero è A? Il numero A è proprio l’area sotto la curva, perché è l’unico valore che è maggiore o uguale alla somma delle aree dei rettangoli sotto la curva e allo stesso tempo minore o uguale alla somma delle aree dei rettangoli «sopra la curva».

Definizione di integrale definito

Dal paragrafo precedente sappiamo che per una funzione continua f nell’intervallo [a; b] vale s(D, f) ≤ A ≤ S(D, f) per tutte le partizioni D. Questo numero A si chiama integrale definito della funzione f da a a b. Usiamo quindi la notazione

$$A={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x.$$

Il teorema fondamentale del calcolo integrale (formula di Newton-Leibniz) ci dice inoltre che vale questa relazione:

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a),$$

dove F è una primitiva della funzione f. Il secondo membro dell’uguaglianza si scrive talvolta anche così:

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={[F(x)]}_a^b$$

Il significato geometrico dell’integrale definito è quindi l’area, già menzionata, sotto la curva di una funzione f non negativa. Siamo partiti dalla funzione $f(x)=\mathrm{sen}(x)+\frac{x}{4}$, quindi proviamo a calcolare l’area nell’intervallo [0; 10]. Calcoliamo quindi l’integrale definito

$${\int }_0^{10}\mathrm{sen}(x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x$$

Come prima cosa integriamo la funzione f:

$$\begin{array}{rcl}\int \mathrm{sen}(x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x& =& \int \mathrm{sen}(x)\mathrm{d}x+\int \frac{x}{4}\mathrm{d}x\\ & =& -\cos (x)+c_1+\frac{x^2}{8}+c_2\\ & =& \frac{x^2}{8}-\cos (x)+c_1+c_2\end{array}$$

La primitiva F ha quindi la forma $F(x)=\frac{x^2}{8}-\cos (x)+c$. Sviluppiamo l’integrale definito:

$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{10}\mathrm{sen}(x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x& =& F(10)-F(0)\\ & =& \frac{{10}^2}{8}-\cos (10)+c-(\frac{0^2}{8}-\cos (0)+c)\\ & =& \frac{100}{8}-\cos (10)+\cos (0)+c-c\\ & \approx & 12,5+\mathrm{0,839}+1\\ & \approx & \mathrm{14,339}\end{array}$$

L’area sotto la curva nell’intervallo [0; 10] è quindi circa 14,339.