Integral definida

A integral definida serve para medir a área de figuras que são descritas por alguma função.

Motivação

Tomemos a função $f(x)=\mathrm{sen}(x)+\frac{x}{4}$. Agora poderíamos perguntar: qual é a área sob a curva do gráfico do ponto a = 0 ao ponto b = 10? Interessa-nos, assim, a medida da área delimitada pelo eixo x, pela curva do gráfico da função f e pelas retas verticais nos pontos a e b. A figura resume tudo isso:

Interessa-nos a medida da área destacada em azul. Como a determinaríamos? Podemos proceder dividindo a área azul inteira em várias áreas menores, depois calculando as áreas dessas partes menores e somando todas essas áreas parciais. Para calcular a área das partes menores, essa parte menor deve ter alguma forma razoável, para que possamos calcular a área por meio de alguma fórmula. O retângulo é a escolha natural.

Primeiro escolhemos uma sequência crescente de pontos x₀ até x_n tais que x₀ = a, x_n = b. Quanto maior n, mais exato será o resultado que obtemos. Escolhemos uma sequência simples x₀ = 0, x₁ = 1, x₂ = 2, …, x₁₀ = 10. A partir dos pontos vizinhos, formamos os intervalos [x_{i − 1}, x_i], isto é, obtemos o conjunto de intervalos

$$D=\{[0,1],[1,2],[2,3],\dots ,[9,10]\}$$

Indicamos o primeiro intervalo por D₁, o segundo por D₂, etc. Em seguida encontramos os valores mínimos da função f em cada intervalo D_i. Por exemplo, em D₁ a função f tem valor mínimo para x = 0, e f(0) = 0. Em D₂ o menor valor está no ponto x = 1 e $f(1)=\mathrm{sen}(1)+\frac{1}{4}\approx \mathrm{1,091}5$. E assim por diante. Vamos dar nome a esses valores da função. Indicamos o menor valor da função no intervalo D_i por m_i. Assim, m₁ = 0, m₂ ≈ 1,0915 etc.

Agora desenhamos no gráfico os retângulos. O i-ésimo retângulo terá largura x_i − x_{i − 1} e altura m_i:

Vemos que a cada intervalo corresponde um retângulo que fica inteiro sob a curva, mas que ao mesmo tempo é o mais alto possível. A altura de cada retângulo no i-ésimo intervalo é justamente m_i. Se somássemos agora as áreas desses retângulos, obteríamos uma estimativa aproximada da medida da área sob a curva. Quanto mais retângulos desenharmos sob a curva, mais exata será a estimativa que obtemos. Calcularíamos a área do i-ésimo retângulo como s_i = m_i · (x_i − x_{i − 1}), de modo que a soma de todos os retângulos seria, então:

$$s=\sum _{i=1}^{10}{m}_i\cdot (x_i-x_{i-1})$$

Podemos proceder ao contrário: em vez de tomar sempre o valor mínimo da função no intervalo D_i, tomamos o maior valor da função. Indicaríamos esses valores da função por M_i. Os retângulos ficariam, então, assim:

Novamente a cada intervalo corresponde um retângulo, e ele tem sempre altura M_i. O lado superior do retângulo toca a curva sempre apenas nos máximos locais do intervalo dado. Somando as áreas dos retângulos individuais, obteríamos outra estimativa da medida da área sob a curva. Calcularíamos essa área como

$$S=\sum _{i=1}^{10}{M}_i\cdot (x_i-x_{i-1})$$

Novamente vale que, se aumentássemos o número de retângulos, obteríamos uma estimativa mais exata.

Introduzimos os conceitos de soma inferior e soma superior. Dizemos que s(D, f) é a soma inferior, e o seu valor é igual a

$$s(D,f)=\sum _{i=1}^n{m}_i\cdot (x_i-x_{i-1}),$$

em que f é uma função contínua no intervalo [a, b], em que x₀ = a, x_n = b, D é a partição do intervalo [a, b] em intervalos menores e n é o número desses intervalos. Indicamos a soma superior por S(D, f), que é igual a:

$$S(D,f)=\sum _{i=1}^n{M}_i\cdot (x_i-x_{i-1}),$$

em que f é uma função e D é a partição do intervalo [a, b] em n intervalos.

Ao mesmo tempo, porém, em termos simples, vale que, quanto maior é D, mais próximos ficam os valores de s(D, f) e S(D, f), até que, em algum ponto do infinito, sejam iguais. Vale, assim, que existe um único número real A tal que

$$s(D,f)\le A\le S(D,f)$$

para todas as partições possíveis D. Que número é esse A? O número A é justamente a área sob a curva, porque é o único valor que é maior ou igual à soma das áreas dos retângulos sob a curva e, ao mesmo tempo, menor ou igual à soma das áreas dos retângulos “sobre a curva”.

Definição de integral definida

Do capítulo anterior sabemos que, para uma função contínua f no intervalo [a, b], vale s(D, f) ≤ A ≤ S(D, f) para todas as partições D. Esse número A se chama integral definida da função f de a até b. Usamos, então, a notação

$$A={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x.$$

O teorema fundamental do cálculo (fórmula de Newton-Leibniz) nos diz ainda que vale esta relação:

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a),$$

em que F é uma primitiva da função f. A parte direita da equação às vezes se escreve também assim:

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={[F(x)]}_a^b$$

O significado geométrico da integral definida é, então, a já mencionada área sob a curva de uma função f não negativa. Começamos com a função $f(x)=\mathrm{sen}(x)+\frac{x}{4}$, então vamos tentar calcular a área no intervalo [0, 10]. Calculamos, assim, a integral definida

$${\int }_0^{10}\mathrm{sen}(x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x$$

Primeiro integramos a função f:

$$\begin{array}{rcl}\int \mathrm{sen}(x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x& =& \int \mathrm{sen}(x)\mathrm{d}x+\int \frac{x}{4}\mathrm{d}x\\ & =& -\cos (x)+c_1+\frac{x^2}{8}+c_2\\ & =& \frac{x^2}{8}-\cos (x)+c_1+c_2\end{array}$$

A primitiva F tem, assim, a forma $F(x)=\frac{x^2}{8}-\cos (x)+c$. Desenvolvemos a integral definida:

$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{10}\mathrm{sen}(x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x& =& F(10)-F(0)\\ & =& \frac{{10}^2}{8}-\cos (10)+c-(\frac{0^2}{8}-\cos (0)+c)\\ & =& \frac{100}{8}-\cos (10)+\cos (0)+c-c\\ & \approx & 12,5+\mathrm{0,839}+1\\ & \approx & \mathrm{14,339}\end{array}$$

A área aproximada sob a curva no intervalo [0, 10] é 14,339.