Определен интеграл

Определеният интеграл служи за измерване на лицето на фигури, които са описани с някаква функция.

Мотивация

Нека е дадена функцията $f(x)=\sin (x)+\frac{x}{4}$. Сега можем да попитаме – колко е голямо лицето под кривата на графиката от точката a = 0 до точката b = 10? Следователно ни интересува лицето на фигурата, която е ограничена от оста x, кривата на графиката на функцията f и вертикалните прави в точките a и b. Всичко е показано на чертежа:

Интересува ни големината на лицето, означено със синьо. Как бихме го определили? Можем да действаме така, че да разделим цялата синя фигура на няколко по-малки фигури, след това да пресметнем лицата на тези по-малки фигури и да съберем всички тези частични лица. За да пресметнем лицето на по-малките фигури, тези по-малки фигури трябва да имат някаква разумна форма, за да можем да пресметнем лицето по някаква формула. Най-удобен е правоъгълникът.

Първо избираме растяща редица от точки x₀ до x_n, такива че x₀ = a, x_n = b. Колкото по-голямо е n, толкова по-точен резултат получаваме. Избираме проста редица x₀ = 0, x₁ = 1, x₂ = 2, …, x₁₀ = 10. От съседните точки образуваме интервали [x_{i − 1}; x_i], т.е. получаваме множество от интервали

$$D=\{[0;1],[1;2],[2;3],\dots ,[9;10]\}$$

Първия интервал означаваме D₁, втория D₂ и т.н. След това намираме минималните стойности на функцията f във всеки интервал D_i. Например в D₁ функцията f има минимална стойност за x = 0 и f(0) = 0. В D₂ най-малката стойност е в точката x = 1 и $f(1)=\sin (1)+\frac{1}{4}\approx \mathrm{1,091}5$. И т.н. Означаваме тези стойности на функцията. Най-малката стойност на функцията в интервала D_i означаваме m_i. Така m₁ = 0, m₂ ≈ 1,0915 и т.н.

Сега чертаем в графиката правоъгълници. i-тият правоъгълник ще има ширина x_i − x_{i − 1} и височина m_i:

Виждаме, че на всеки интервал съответства по един правоъгълник, който е изцяло под кривата, но същевременно е най-високият възможен. Височината на всеки правоъгълник в i-тия интервал е m_i. Ако сега съберем лицата на тези правоъгълници, ще получим приблизителна оценка за големината на лицето под кривата. Колкото повече правоъгълници начертаем под кривата, толкова по-точна оценка ще получим. Лицето на i-тия правоъгълник бихме пресметнали като s_i = m_i · (x_i − x_{i − 1}), така че сборът от лицата на всички правоъгълници би бил:

$$s=\sum _{i=1}^{10}{m}_i\cdot (x_i-x_{i-1})$$

Можем да постъпим обратно: вместо да вземаме винаги минималната стойност на функцията в интервала D_i, вземаме най-голямата стойност на функцията. Тези стойности бихме означили M_i. Правоъгълниците тогава биха изглеждали така:

Отново на всеки интервал съответства по един правоъгълник и той има винаги височина M_i. Горната страна на правоъгълника се допира до кривата винаги само в локалните максимуми на дадения интервал. Като съберем лицата на отделните правоъгълници, ще получим още една оценка за големината на лицето под кривата. Това лице бихме пресметнали като

$$S=\sum _{i=1}^{10}{M}_i\cdot (x_i-x_{i-1})$$

Отново е изпълнено, че ако увеличим броя на правоъгълниците, получаваме по-точна оценка.

Въвеждаме понятията долна и горна интегрална сума. Казваме, че s(D, f) е долната интегрална сума и стойността ѝ е равна на

$$s(D,f)=\sum _{i=1}^n{m}_i\cdot (x_i-x_{i-1}),$$

където f е непрекъсната функция в интервала [a; b], където x₀ = a, x_n = b, D е разбиването на интервала [a; b] на по-малки интервали и n е броят на тези интервали. Горната интегрална сума означаваме S(D, f) и тя е равна на:

$$S(D,f)=\sum _{i=1}^n{M}_i\cdot (x_i-x_{i-1}),$$

където f е функция и D е разбиване на интервала [a; b] на n интервала.

Същевременно, казано опростено, е изпълнено, че колкото по-гъсто е D, толкова повече стойностите s(D, f) и S(D, f) се приближават една към друга, докато някъде в безкрайността станат равни. Така съществува единствено реално число A, такова че

$$s(D,f)\le A\le S(D,f)$$

за всички възможни разбивания D. Какво число е A? Числото A е лицето под кривата, защото това е единствената стойност, която е по-голяма или равна на сбора от лицата на правоъгълниците под кривата и същевременно по-малка или равна на сбора от лицата на правоъгълниците „над кривата“.

Определение на определен интеграл

От предишния раздел знаем, че за непрекъсната функция f в интервала [a; b] е изпълнено s(D, f) ≤ A ≤ S(D, f) за всички разбивания D. Това число A се нарича определен интеграл на функцията f от a до b. Използваме означението

$$A={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x.$$

Формулата на Нютон–Лайбниц ни казва освен това, че е в сила равенството:

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a),$$

където F е примитивна функция на функцията f. Дясната част на равенството понякога се записва и така:

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={[F(x)]}_a^b$$

Геометричният смисъл на определения интеграл е вече споменатото лице под кривата на неотрицателна функция f. Започнахме с функцията $f(x)=\sin (x)+\frac{x}{4}$, затова ще опитаме да пресметнем лицето в интервала [0; 10]. Затова пресмятаме определения интеграл

$${\int }_0^{10}\sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x$$

Първо интегрираме функцията f:

$$\begin{array}{rcl}\int \sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x& =& \int \sin (x)\mathrm{d}x+\int \frac{x}{4}\mathrm{d}x\\ & =& -\cos (x)+c_1+\frac{x^2}{8}+c_2\\ & =& \frac{x^2}{8}-\cos (x)+c_1+c_2\end{array}$$

Следователно примитивната функция F има вида $F(x)=\frac{x^2}{8}-\cos (x)+c$. Пресмятаме определения интеграл:

$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{10}\sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x& =& F(10)-F(0)\\ & =& \frac{{10}^2}{8}-\cos (10)+c-(\frac{0^2}{8}-\cos (0)+c)\\ & =& \frac{100}{8}-\cos (10)+\cos (0)+c-c\\ & \approx & 12,5+\mathrm{0,839}+1\\ & \approx & \mathrm{14,339}\end{array}$$

Приблизителното лице под кривата в интервала [0; 10] е 14,339.