Intégrale

L’intégrale sert à mesurer l’aire de figures décrites par une fonction.

Motivation

Soit la fonction $f(x)=\sin (x)+\frac{x}{4}$. On pourrait se demander : quelle est l’aire sous la courbe représentative, du point a = 0 au point b = 10 ? Ce qui nous intéresse, c’est l’aire délimitée par l’axe des abscisses, la courbe de la fonction f et les droites verticales passant par les points a et b. La figure résume tout cela :

Nous nous intéressons à l’aire colorée en bleu. Comment la déterminer ? On peut diviser toute l’aire bleue en plusieurs aires plus petites, calculer ensuite les aires de ces petites parties et additionner toutes ces aires partielles. Pour calculer l’aire d’une petite partie avec une formule, celle-ci doit avoir une forme raisonnable. Le rectangle s’impose.

Choisissons d’abord une suite strictement croissante de points x₀ à x_n telle que x₀ = a, x_n = b. Plus n est grand, plus le résultat est précis. Prenons la suite simple x₀ = 0, x₁ = 1, x₂ = 2, …, x₁₀ = 10. Deux points consécutifs délimitent à chaque fois un intervalle [x_{i − 1} ; x_i], ce qui donne l’ensemble d’intervalles

$$D=\{[0;1],[1;2],[2;3],\dots ,[9;10]\}$$

Notons le premier intervalle D₁, le deuxième D₂, etc. Cherchons ensuite le minimum de la fonction f sur chaque intervalle D_i. Par exemple, sur D₁, la fonction f atteint son minimum en x = 0 et f(0) = 0. Sur D₂, la plus petite valeur est atteinte en x = 1 et $f(1)=\sin (1)+\frac{1}{4}\approx \mathrm{1,091}5$. Etc. Notons ces valeurs de la fonction. La plus petite valeur de la fonction sur l’intervalle D_i sera notée m_i. Ainsi m₁ = 0, m₂ ≈ 1,0915, etc.

Dessinons maintenant les rectangles sur le graphique. Le i-ème rectangle a pour largeur x_i − x_{i − 1} et pour hauteur m_i :

On voit qu’à chaque intervalle correspond un rectangle qui est entièrement sous la courbe, mais qui est en même temps le plus haut possible. La hauteur de chaque rectangle sur le i-ème intervalle est exactement m_i. Si nous additionnions maintenant les aires de ces rectangles, nous obtiendrions une valeur approchée de l’aire sous la courbe. Plus on dessine de rectangles sous la courbe, plus l’approximation est précise. L’aire du i-ème rectangle se calcule ainsi : s_i = m_i · (x_i − x_{i − 1}), et la somme de tous les rectangles est donc :

$$s=\sum _{i=1}^{10}{m}_i\cdot (x_i-x_{i-1})$$

On peut procéder à l’inverse : au lieu de prendre à chaque fois la plus petite valeur de la fonction sur l’intervalle D_i, on prend la plus grande. Notons ces valeurs M_i. Les rectangles ressembleraient alors à ceci :

De nouveau, à chaque intervalle correspond un rectangle, de hauteur M_i. Le côté supérieur du rectangle ne touche la courbe qu’aux maximums locaux de l’intervalle considéré. En additionnant les aires des rectangles, nous obtiendrions une autre approximation de l’aire sous la courbe. Cette aire se calculerait ainsi :

$$S=\sum _{i=1}^{10}{M}_i\cdot (x_i-x_{i-1})$$

De nouveau, si l’on augmente le nombre de rectangles, on obtient une approximation plus précise.

Introduisons les notions de sommes de Darboux inférieure et supérieure. Disons que s(D, f) est la somme inférieure, dont la valeur est égale à

$$s(D,f)=\sum _{i=1}^n{m}_i\cdot (x_i-x_{i-1}),$$

où f est une fonction continue sur l’intervalle [a ; b], où x₀ = a, x_n = b, D est la subdivision de l’intervalle [a ; b] en intervalles plus petits et n est le nombre de ces intervalles. La somme supérieure se note S(D, f) et vaut :

$$S(D,f)=\sum _{i=1}^n{M}_i\cdot (x_i-x_{i-1}),$$

où f est une fonction et D une subdivision de l’intervalle [a ; b] en n intervalles.

Or, pour dire les choses simplement, plus la subdivision D est fine, plus les valeurs de s(D, f) et de S(D, f) sont proches, jusqu’à devenir égales « à l’infini ». Il existe donc un unique nombre réel A tel que

$$s(D,f)\le A\le S(D,f)$$

pour toutes les subdivisions D possibles. Quel est ce nombre A ? Le nombre A est exactement l’aire sous la courbe, car c’est la seule valeur qui soit à la fois supérieure ou égale à la somme des aires des rectangles sous la courbe et inférieure ou égale à la somme des aires des rectangles « au-dessus de la courbe ».

Définition de l’intégrale

D’après le chapitre précédent, pour une fonction continue f sur l’intervalle [a ; b], on a s(D, f) ≤ A ≤ S(D, f) pour toutes les subdivisions D. Ce nombre A s’appelle l’intégrale de la fonction f de a à b. On utilise la notation

$$A={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x.$$

La formule de Newton-Leibniz nous dit en outre que l’on a la relation suivante :

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a),$$

où F est une primitive de la fonction f. Le membre de droite de l’égalité s’écrit parfois aussi ainsi :

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={[F(x)]}_a^b$$

La signification géométrique de l’intégrale est donc l’aire sous la courbe d’une fonction positive f, dont nous avons déjà parlé. Nous avons commencé avec la fonction $f(x)=\sin (x)+\frac{x}{4}$, essayons donc de calculer l’aire sur l’intervalle [0 ; 10]. Nous calculons donc l’intégrale

$${\int }_0^{10}\sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x$$

Pour commencer, cherchons une primitive de la fonction f :

$$\begin{array}{rcl}\int \sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x& =& \int \sin (x)\mathrm{d}x+\int \frac{x}{4}\mathrm{d}x\\ & =& -\cos (x)+c_1+\frac{x^2}{8}+c_2\\ & =& \frac{x^2}{8}-\cos (x)+c_1+c_2\end{array}$$

La primitive F a donc la forme $F(x)=\frac{x^2}{8}-\cos (x)+c$. Détaillons le calcul de l’intégrale :

$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{10}\sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x& =& F(10)-F(0)\\ & =& \frac{{10}^2}{8}-\cos (10)+c-(\frac{0^2}{8}-\cos (0)+c)\\ & =& \frac{100}{8}-\cos (10)+\cos (0)+c-c\\ & \approx & 12,5+\mathrm{0,839}+1\\ & \approx & \mathrm{14,339}\end{array}$$

L’aire approximative sous la courbe sur l’intervalle [0 ; 10] est 14,339.