Bestemt integral

Det bestemte integralet brukes til å måle størrelsen på arealet av figurer som er beskrevet av en funksjon.

Motivasjon

Vi har funksjonen $f(x)=\sin (x)+\frac{x}{4}$. Nå kunne vi spørre: hvor stort er arealet under grafen fra punktet a = 0 til punktet b = 10? Vi er altså interessert i størrelsen på arealet som er avgrenset av x-aksen, grafen til funksjonen f og de loddrette linjene i punktene a og b. Figuren oppsummerer alt:

Vi er interessert i størrelsen på det blå uthevede arealet. Hvordan kan vi bestemme det? Vi kan gå fram ved å dele hele det blå arealet opp i flere mindre arealer, så regne ut arealene av disse mindre områdene og legge sammen alle disse delarealene. For å regne ut arealet av de mindre områdene må hvert slikt område ha en fornuftig form, slik at vi kan regne ut arealet med en formel. Et rektangel byr seg fram.

Først velger vi en strengt voksende følge av punkter x₀ til x_n slik at x₀ = a, x_n = b. Jo større n, desto mer nøyaktig resultat får vi. Vi velger en enkel følge x₀ = 0, x₁ = 1, x₂ = 2, …, x₁₀ = 10. Av nabopunktene lager vi intervallene [x_{i − 1}, x_i], altså vi får mengden av intervaller

$$D=\{[0,1],[1,2],[2,3],\dots ,[9,10]\}$$

Det første intervallet kaller vi D₁, det andre D₂, osv. Videre finner vi minimumsverdiene til funksjonen f i hvert intervall D_i. For eksempel har funksjonen f i D₁ minimumsverdien for x = 0, og f(0) = 0. I D₂ er den laveste verdien i punktet x = 1 og $f(1)=\sin (1)+\frac{1}{4}\approx \mathrm{1,091}5$. Osv. Disse funksjonsverdiene markerer vi. Den laveste funksjonsverdien i intervallet D_i kaller vi m_i. Altså m₁ = 0, m₂ ≈ 1,0915 osv.

Nå tegner vi rektangler inn i grafen. Det i-te rektangelet får bredden x_i − x_{i − 1} og høyden m_i:

Vi ser at hvert intervall har ett rektangel som ligger helt under grafen, men samtidig er så høyt som mulig. Høyden til hvert rektangel i det i-te intervallet er nettopp m_i. Hvis vi nå la sammen arealene av disse rektanglene, ville vi få et omtrentlig anslag for størrelsen på arealet under grafen. Jo flere rektangler vi tegner under grafen, desto mer nøyaktig anslag får vi. Arealet av det i-te rektangelet ville vi regne ut som s_i = m_i · (x_i − x_{i − 1}), så summen av alle rektanglene ville da være:

$$s=\sum _{i=1}^{10}{m}_i\cdot (x_i-x_{i-1})$$

Vi kan gå fram omvendt: i stedet for å ta den minste funksjonsverdien i intervallet D_i tar vi den største funksjonsverdien. Disse funksjonsverdiene kaller vi M_i. Rektanglene ville da se slik ut:

Igjen hører ett rektangel til hvert intervall, og det har alltid høyden M_i. Den øvre kanten av rektangelet berører grafen bare i de lokale maksimumene i det aktuelle intervallet. Ved å legge sammen arealene av de enkelte rektanglene ville vi få et nytt anslag for størrelsen på arealet under grafen. Dette arealet ville vi regne ut som

$$S=\sum _{i=1}^{10}{M}_i\cdot (x_i-x_{i-1})$$

Igjen gjelder det at hvis vi øker antallet rektangler, får vi et mer nøyaktig anslag.

Vi innfører begrepene nedre og øvre trappesum. Vi sier at s(D, f) er den nedre trappesummen, og verdien er lik

$$s(D,f)=\sum _{i=1}^n{m}_i\cdot (x_i-x_{i-1}),$$

der f er en kontinuerlig funksjon på intervallet [a, b], der x₀ = a, x_n = b, D er en inndeling av intervallet [a, b] i mindre intervaller og n er antallet slike intervaller. Den øvre trappesummen kaller vi S(D, f), og den er lik:

$$S(D,f)=\sum _{i=1}^n{M}_i\cdot (x_i-x_{i-1}),$$

der f er funksjonen og D er en inndeling av intervallet [a, b] i n intervaller.

Samtidig gjelder det, enkelt sagt, at jo finere inndelingen D er, desto nærmere hverandre kommer verdiene s(D, f) og S(D, f), til de blir like et sted i det uendelige. Det finnes altså ett eneste reelt tall A slik at

$$s(D,f)\le A\le S(D,f)$$

for alle mulige inndelinger D. Hva er A for et tall? Tallet A er nettopp arealet under grafen, for det er den eneste verdien som er større enn eller lik summen av arealene av rektanglene under grafen og samtidig mindre enn eller lik summen av arealene av rektanglene «over grafen».

Definisjon av det bestemte integralet

Fra det forrige kapitlet vet vi at for en kontinuerlig funksjon f på intervallet [a, b] gjelder s(D, f) ≤ A ≤ S(D, f) for alle inndelinger D. Dette tallet A kalles det bestemte integralet av funksjonen f fra a til b. Vi bruker da skrivemåten

$$A={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x.$$

Analysens fundamentalteorem sier oss videre at denne sammenhengen gjelder:

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a),$$

der F er en antiderivert til funksjonen f. Høyre side av likningen skrives av og til også slik:

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={[F(x)]}_a^b$$

Den geometriske betydningen av det bestemte integralet er dermed det allerede nevnte arealet under grafen til en ikke-negativ funksjon f. Vi begynte med funksjonen $f(x)=\sin (x)+\frac{x}{4}$, så la oss prøve å regne ut arealet i intervallet [0, 10]. Vi regner altså ut det bestemte integralet

$${\int }_0^{10}\sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x$$

Først integrerer vi funksjonen f:

$$\begin{array}{rcl}\int \sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x& =& \int \sin (x)\mathrm{d}x+\int \frac{x}{4}\mathrm{d}x\\ & =& -\cos (x)+C_1+\frac{x^2}{8}+C_2\\ & =& \frac{x^2}{8}-\cos (x)+C_1+C_2\end{array}$$

Den antideriverte F har dermed formen $F(x)=\frac{x^2}{8}-\cos (x)+C$. Vi skriver ut det bestemte integralet:

$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{10}\sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x& =& F(10)-F(0)\\ & =& \frac{{10}^2}{8}-\cos (10)+C-(\frac{0^2}{8}-\cos (0)+C)\\ & =& \frac{100}{8}-\cos (10)+\cos (0)+C-C\\ & \approx & 12,5+\mathrm{0,839}+1\\ & \approx & \mathrm{14,339}\end{array}$$

Det omtrentlige arealet under grafen i intervallet [0, 10] er 14,339.