Bepaalde integraal

De bepaalde integraal dient om de oppervlakte te meten van figuren die door een functie worden beschreven.

Motivatie

Stel dat we de functie $f(x)=\sin (x)+\frac{x}{4}$ hebben. Nu zouden we ons kunnen afvragen — hoe groot is de oppervlakte onder de grafiek van het punt a = 0 tot het punt b = 10? We zijn dus geïnteresseerd in de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de grafiek van de functie f en de verticale lijnen in de punten a en b. Het plaatje vat alles samen:

We zijn geïnteresseerd in de oppervlakte van het blauw gemarkeerde vlakdeel. Hoe zouden we die bepalen? We kunnen het hele blauwe vlakdeel in een aantal kleinere stukken verdelen, dan de oppervlakten van die kleinere stukken berekenen en al die deeloppervlakten optellen. Om de oppervlakte van de kleinere stukken te berekenen, moet zo'n kleiner stuk een redelijke vorm hebben, zodat we de oppervlakte met een formule kunnen berekenen. De rechthoek ligt voor de hand.

Eerst kiezen we een strikt stijgende rij punten x₀ tot en met x_n zodat x₀ = a, x_n = b. Hoe groter n, hoe nauwkeuriger het resultaat. We kiezen de eenvoudige rij x₀ = 0, x₁ = 1, x₂ = 2, …, x₁₀ = 10. Uit opeenvolgende punten maken we intervallen [x_{i − 1}, x_i], dus we krijgen de verzameling intervallen

$$D=\{[0,1],[1,2],[2,3],\dots ,[9,10]\}$$

Het eerste interval noemen we D₁, het tweede D₂, enzovoort. Verder zoeken we de minimale waarden van de functie f in elk interval D_i. In D₁ heeft de functie f bijvoorbeeld de minimale waarde voor x = 0 en f(0) = 0. In D₂ is de laagste waarde in het punt x = 1 en $f(1)=\sin (1)+\frac{1}{4}\approx \mathrm{1,091}5$. Enzovoort. Deze functiewaarden markeren we. De laagste functiewaarde in het interval D_i noemen we m_i. Dus m₁ = 0, m₂ ≈ 1,0915 enzovoort.

Nu tekenen we rechthoeken in de grafiek. De i-de rechthoek heeft breedte x_i − x_{i − 1} en hoogte m_i:

We zien dat bij elk interval één rechthoek hoort die helemaal onder de grafiek ligt, maar tegelijk zo hoog mogelijk is. De hoogte van elke rechthoek in het i-de interval is precies m_i. Als we nu de oppervlakten van deze rechthoeken zouden optellen, zouden we een schatting krijgen van de oppervlakte onder de grafiek. Hoe meer rechthoeken we onder de grafiek tekenen, hoe nauwkeuriger de schatting wordt. De oppervlakte van de i-de rechthoek zouden we berekenen als s_i = m_i · (x_i − x_{i − 1}), dus de som van alle rechthoeken zou dan zijn:

$$s=\sum _{i=1}^{10}{m}_i\cdot (x_i-x_{i-1})$$

We kunnen ook andersom te werk gaan: in plaats van steeds de minimale functiewaarde op het interval D_i te nemen, nemen we de grootste functiewaarde. Die functiewaarden zouden we M_i noemen. De rechthoeken zouden er dan zo uitzien:

Opnieuw hoort bij elk interval één rechthoek en die heeft altijd hoogte M_i. De bovenkant van de rechthoek raakt de grafiek steeds alleen in de lokale maxima van het gegeven interval. Door de oppervlakten van de afzonderlijke rechthoeken op te tellen, zouden we nog een schatting van de oppervlakte onder de grafiek krijgen. Die oppervlakte zouden we berekenen als

$$S=\sum _{i=1}^{10}{M}_i\cdot (x_i-x_{i-1})$$

Ook hier geldt dat als we het aantal rechthoeken vergroten, we een nauwkeuriger schatting krijgen.

We voeren de begrippen ondersom en bovensom in. We zeggen dat s(D, f) de ondersom is en dat de waarde ervan gelijk is aan

$$s(D,f)=\sum _{i=1}^n{m}_i\cdot (x_i-x_{i-1}),$$

waarbij f een continue functie is op het interval [a, b], waarbij x₀ = a, x_n = b, D de indeling van het interval [a, b] in kleinere intervallen is en n het aantal van die intervallen. De bovensom noteren we als S(D, f) en die is gelijk aan:

$$S(D,f)=\sum _{i=1}^n{M}_i\cdot (x_i-x_{i-1}),$$

waarbij f een functie is en D de indeling van het interval [a, b] in n intervallen.

Daarbij geldt echter, eenvoudig gezegd, dat hoe groter D is, hoe dichter de waarden s(D, f) en S(D, f) bij elkaar komen, tot ze ergens in het oneindige gelijk zijn. Er geldt dus dat er één enkel reëel getal A bestaat waarvoor

$$s(D,f)\le A\le S(D,f)$$

voor alle mogelijke indelingen D. Wat voor getal is A? Het getal A is precies de oppervlakte onder de grafiek, want dat is de enige waarde die groter dan of gelijk aan de som van de oppervlakten van de rechthoeken onder de grafiek is en tegelijk kleiner dan of gelijk aan de som van de oppervlakten van de rechthoeken “boven de grafiek”.

Definitie van de bepaalde integraal

Uit het vorige hoofdstuk weten we dat voor een continue functie f op het interval [a, b] geldt s(D, f) ≤ A ≤ S(D, f) voor alle indelingen D. Dit getal A heet de bepaalde integraal van de functie f van a tot b. We gebruiken dan de notatie

$$A={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x.$$

De hoofdstelling van de integraalrekening zegt ons verder dat deze relatie geldt:

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a),$$

waarbij F een primitieve functie van de functie f is. De rechterkant van de vergelijking wordt soms ook zo geschreven:

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={[F(x)]}_a^b$$

De meetkundige betekenis van de bepaalde integraal is dan de al genoemde oppervlakte onder de grafiek van een niet-negatieve functie f. We zijn begonnen met de functie $f(x)=\sin (x)+\frac{x}{4}$, dus we proberen de oppervlakte in het interval [0, 10] te berekenen. We berekenen dus de bepaalde integraal

$${\int }_0^{10}\sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x$$

Eerst integreren we de functie f:

$$\begin{array}{rcl}\int \sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x& =& \int \sin (x)\mathrm{d}x+\int \frac{x}{4}\mathrm{d}x\\ & =& -\cos (x)+c_1+\frac{x^2}{8}+c_2\\ & =& \frac{x^2}{8}-\cos (x)+c_1+c_2\end{array}$$

De primitieve functie F heeft dus de vorm $F(x)=\frac{x^2}{8}-\cos (x)+c$. We schrijven de bepaalde integraal uit:

$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{10}\sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x& =& F(10)-F(0)\\ & =& \frac{{10}^2}{8}-\cos (10)+c-(\frac{0^2}{8}-\cos (0)+c)\\ & =& \frac{100}{8}-\cos (10)+\cos (0)+c-c\\ & \approx & 12,5+\mathrm{0,839}+1\\ & \approx & \mathrm{14,339}\end{array}$$

De oppervlakte onder de grafiek op het interval [0, 10] is ongeveer 14,339.