Εξίσωση ευθείας με συντελεστή διεύθυνσης

Η εξίσωση της ευθείας με συντελεστή διεύθυνσης βασίζεται στο μέγεθος της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα x'x.

Κίνητρο

Έχουμε την ευθεία ε με γενική εξίσωση Ax + By + Γ= 0. Ξέρουμε ότι η γραφική παράσταση μιας γραμμικής συνάρτησης είναι ακριβώς μια ευθεία. Την ίδια τη γραμμική συνάρτηση τη γράφουμε συνήθως στη μορφή y = f(x). Θα θέλαμε λοιπόν να μετατρέψουμε τη γενική εξίσωση της ευθείας Ax + By + Γ= 0 ακριβώς σε αυτή τη μορφή. Για να το πετύχουμε, χρειαζόμαστε B ≠ 0, γιατί πρέπει να λύσουμε την εξίσωση ως προς y, άρα να τη διαιρέσουμε με το B. Αν λοιπόν B ≠ 0, μπορούμε να μετασχηματίσουμε τη γενική εξίσωση ως εξής:

$$\begin{array}{rcl}Ax+By+\mathrm{\Gamma }& =& 0/:B\\ \frac{Ax}{B}+y+\frac{\mathrm{\Gamma }}{B}& =& 0/\text{ λύνουμε ως προς }y\\ y& =& -\frac{Ax}{B}-\frac{\mathrm{\Gamma }}{B}\end{array}$$

Έτσι πήραμε τη γραφή μιας συνηθισμένης γραμμικής συνάρτησης. Επειδή αυτή η γραφή είναι αρκετά περίπλοκη, κάνουμε αντικατάσταση και θέτουμε

$$\begin{array}{rcl}\lambda & =& -\frac{A}{B}\\ \beta & =& -\frac{\mathrm{\Gamma }}{B}\end{array}$$

και τότε μπορούμε να γράψουμε την προηγούμενη εξίσωση στη μορφή:

$$y=\lambda x+\beta$$

Δεν είναι καμία άλλη μορφή, απλώς αντί για το άσχημο κλάσμα $-\frac{\mathrm{\Gamma }}{B}$ γράψαμε β, αυτό είναι όλο. Επειδή η μορφή λ x + β περιγράφει μια συνηθισμένη γραμμική συνάρτηση, μια ευθεία σε αυτή τη μορφή δεν μπορεί να είναι παράλληλη προς τον άξονα y'y. Αυτό άλλωστε το αποκλείσαμε από την αρχή, όταν είπαμε ότι B ≠ 0.

Αν ίσχυε B = 0, τότε η ευθεία θα ήταν παράλληλη προς τον άξονα y'y και η γενική εξίσωση μιας τέτοιας ευθείας θα είχε τη μορφή Ax + Γ= 0. Αν διαιρέσουμε αυτή την εξίσωση με τον αριθμό A και την απλοποιήσουμε, παίρνουμε:

$$\begin{array}{rcl}Ax+\mathrm{\Gamma }& =& 0/:A\\ x+\frac{\mathrm{\Gamma }}{A}& =& 0\\ x& =& -\frac{\mathrm{\Gamma }}{A}\end{array}$$

Επειδή το κλάσμα $-\frac{\mathrm{\Gamma }}{A}$ είναι πάλι άσχημο, θέτουμε $m=-\frac{\mathrm{\Gamma }}{A}$, οπότε τελικά προκύπτει η εξίσωση

$$x=m$$

Συνοψίζοντας, κάθε ευθεία που δεν είναι παράλληλη προς τον άξονα y'y μπορούμε να τη γράψουμε στη μορφή y = λ x + β, όπου λ, β ∈ ℝ, και κάθε ευθεία παράλληλη προς τον άξονα y'y μπορούμε να τη γράψουμε στη μορφή x = m, όπου m ∈ ℝ.

Την εξίσωση της μορφής y = λ x + β τη λέμε εξίσωση ευθείας με συντελεστή διεύθυνσης, και τον συντελεστή λ τον λέμε συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας.

Παράδειγμα

Έχουμε μια ευθεία που διέρχεται από τα σημεία A(2, 8), B(8, 10). Βρες την εξίσωσή της με συντελεστή διεύθυνσης. Η εξίσωση με συντελεστή διεύθυνσης προσδιορίζεται καλύτερα από τη γενική εξίσωση της ευθείας, οπότε πρώτα τη φτιάχνουμε. Η γενική εξίσωση έχει τη μορφή Ax + By + Γ= 0, όπου το (A, B) είναι το κάθετο διάνυσμα, άρα βρίσκουμε το κάθετο διάνυσμα. Το παράλληλο διάνυσμα έχει συντεταγμένες (8, 10) − (2, 8) = (6, 2), οπότε το κάθετο διάνυσμα $\overrightarrow{n}$ έχει συντεταγμένες (−2, 6). Στη γενική εξίσωση μπορούμε λοιπόν να αντικαταστήσουμε A = −2, B = 6:

$$-2x+6y+\mathrm{\Gamma }=0$$

Στη θέση των συντεταγμένων (x, y) αντικαθιστούμε στην εξίσωση ένα σημείο από το οποίο η ευθεία σίγουρα διέρχεται. Για παράδειγμα το σημείο B(8, 10). Αντικαθιστούμε λοιπόν στην εξίσωση x = 8, y = 10:

$$\begin{array}{rcl}-2\cdot 8+6\cdot 10+\mathrm{\Gamma }& =& 0\\ -16+60+\mathrm{\Gamma }& =& 0\\ \mathrm{\Gamma }& =& -44\end{array}$$

Προκύπτει η γενική εξίσωση

$$-2x+6y-44=0$$

Αυτή την εξίσωση μπορούμε να τη διαιρέσουμε με −2, και παίρνουμε μια λίγο πιο όμορφη μορφή:

$$x-3y+22=0$$

Την εξίσωση με συντελεστή διεύθυνσης τη βρίσκουμε αν λύσουμε ως προς y. Περνάμε όλους τους άλλους όρους στο δεξί μέλος και μετά διαιρούμε την εξίσωση με το τρία:

$$\begin{array}{rcl}x-3y+22& =& 0\\ -3y& =& -x-22/\cdot -1\\ 3y& =& x+22/\cdot \frac{1}{3}\\ y& =& \frac{1}{3}x+\frac{22}{3}\end{array}$$

Η τελευταία γραμμή παριστάνει την ευθεία στη μορφή με συντελεστή διεύθυνσης. Αν θέλαμε να ξέρουμε τους συντελεστές λ, β, θα γράφαμε $\lambda =\frac{1}{3},\beta =\frac{22}{3}$. Μπορείς ακόμα να δεις τη γραφική παράσταση της ευθείας με το παράλληλο διάνυσμα $\overrightarrow{u}$ και το κάθετο διάνυσμα $\overrightarrow{n}$:

Αν ο συντελεστής β δεν είχε βγει τόσο άβολος, $\frac{22}{3}$, θα έβλεπες με την πρώτη ματιά ότι ο συντελεστής β καθορίζει τη συντεταγμένη y του σημείου τομής της ευθείας με τον άξονα y'y. Το σημείο τομής με τον άξονα y'y έχει συντεταγμένη x ίση με x = 0. Αν το αντικαταστήσουμε στην εξίσωση $y=\frac{1}{3}x+\frac{22}{3}$, παίρνουμε $y=\frac{1}{3}\cdot 0+\frac{22}{3}=\frac{22}{3}$, δηλαδή για x = 0 το y έχει τιμή $y=\frac{22}{3}$.

Συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας

Αν έχουμε την εξίσωση ευθείας στη μορφή y = λ x + β, τον αριθμό λ τον λέμε συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας. Ο συντελεστής διεύθυνσης σχετίζεται με τη γωνία που σχηματίζει η ευθεία με τον θετικό ημιάξονα Ox. Δες το ακόλουθο σχήμα:

Το σχήμα δείχνει τέσσερις διαφορετικές ευθείες με διαφορετικούς συντελεστές διεύθυνσης λ, αλλά πάντα με τον ίδιο σταθερό όρο 2. Όλες οι ευθείες έχουν λοιπόν τη μορφή y = λ x + 2. Πρόσεξε ότι όσο αλλάζει ομαλά η τιμή του συντελεστή διεύθυνσης, δηλαδή του αριθμού μπροστά από τον άγνωστο x, αλλάζει και η γωνία που σχηματίζει η ευθεία με τον θετικό ημιάξονα Ox. Π.χ. η μοβ ευθεία $y=\frac{1}{2}x+2$ σχηματίζει με τον ημιάξονα γωνία δ, η κόκκινη ευθεία y = x + 2 σχηματίζει με τον ημιάξονα γωνία γ και η πράσινη ευθεία y = 2x + 2 σχηματίζει με τον ημιάξονα γωνία β.

Σε αυτή την περίπτωση ισχύει ότι όσο μεγαλύτερος είναι ο συντελεστής διεύθυνσης, τόσο μεγαλύτερη είναι και η γωνία που σχηματίζει η ευθεία με τον ημιάξονα. Ο συντελεστής διεύθυνσης της μοβ ευθείας $y=\frac{1}{2}x+2$ είναι ${\lambda }_1=\frac{1}{2}$, ο συντελεστής διεύθυνσης της πράσινης ευθείας y = 2x + 2 είναι λ₂ = 2, άρα ισχύει λ₁ < λ₂. Ταυτόχρονα ισχύει δ < β. Όμως π.χ. ο συντελεστής διεύθυνσης της μπλε ευθείας y = −2x + 2 είναι λ₃ = −2, άρα είναι μικρότερος από όλους τους προηγούμενους, κι όμως η γωνία α είναι η μεγαλύτερη από όλες.

Βλέπουμε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης λ έχει κάποια σχέση με τη γωνία. Ας τη μελετήσουμε πιο προσεκτικά. Θα σχεδιάσουμε μόνο τη μοβ ευθεία $y=\frac{1}{2}x+2$ και θα μας ενδιαφέρει η γωνία δ. Διαλέγουμε πάνω στην ευθεία δύο οποιαδήποτε διαφορετικά σημεία A, B και φτιάχνουμε από αυτά ένα ορθογώνιο τρίγωνο ABC, όπως φαίνεται στο σχήμα. Θα ισχύει ότι οι γωνίες δ και ϵ είναι ίσες, επειδή είναι εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες.

Θα προσπαθήσουμε τώρα να εκφράσουμε τη γωνία ϵ με τη βοήθεια των τμημάτων AC και BC. Για να το κάνουμε, χρειαζόμαστε τα μήκη αυτών των τμημάτων. Ας ονομάσουμε τις συντεταγμένες των σημείων A και B ως εξής: A(x₁, y₁) = A(2, 3) και B(x₂, y₂) = B(6, 5). Το μήκος του τμήματος AC θα είναι ίσο με τη διαφορά |x₂ − x₁| = |6 − 2| = 4. Παίρνουμε τη συντεταγμένη x του σημείου B, που είναι ίδια με τη συντεταγμένη x του σημείου C, και αφαιρούμε από αυτόν τον αριθμό τη συντεταγμένη x του σημείου A. Έτσι παίρνουμε το μήκος του τμήματος AC. Το ίδιο κάνουμε με το τμήμα BC, μόνο που παίρνουμε τις συντεταγμένες y. Ισχύει λοιπόν |BC| = |y₂ − y₁| = |5 − 3| = 2.

Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις, συγκεκριμένα την εφαπτομένη. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC ισχύει για τη γωνία ϵ ότι $\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }(ϵ)=\frac{|BC|}{|AC|}$. Η εφαπτομένη της γωνίας ϵ είναι ίση με τον λόγο της απέναντι κάθετης πλευράς προς την προσκείμενη κάθετη πλευρά. Αν αντικαταστήσουμε στη θέση των τμημάτων τα μήκη τους, παίρνουμε:

$$\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }(ϵ)=\frac{|BC|}{|AC|}=\frac{|y_2-y_1|}{|x_2-x_1|}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

Η εφαπτομένη της γωνίας ϵ, που είναι ίση με τη γωνία δ, βγήκε λοιπόν $\frac{1}{2}$. Η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον θετικό ημιάξονα Ox είναι $\frac{1}{2}$. Όμως η εξίσωση αυτής της ευθείας είναι $y=\frac{1}{2}x+2$, δηλαδή η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον θετικό ημιάξονα Ox ταυτίζεται με τον συντελεστή διεύθυνσης αυτής της ευθείας! Αυτό δεν είναι τυχαίο και ισχύει γενικά:

Αν έχουμε μια ευθεία ε με εξίσωση y = λ x + β, τότε ο συντελεστής διεύθυνσης λ είναι ίσος με την εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία ε με τον θετικό ημιάξονα Ox.