Ecuación explícita de la recta

La ecuación explícita de la recta se basa en la amplitud del ángulo que forma la recta con el eje x.

Motivación

Tenemos una recta r que tiene la ecuación general ax + by + c = 0. Sabemos que la gráfica de una función lineal es precisamente una recta. Además, la función lineal como tal solemos escribirla en la forma y = f(x). Podríamos querer, pues, pasar la ecuación general de la recta ax + by + c = 0 precisamente a esta forma. Para conseguirlo necesitamos que b ≠ 0, porque necesitamos despejar y de la ecuación y, por tanto, dividir toda la ecuación entre b. Si b ≠ 0, podemos transformar la ecuación general así:

$$\begin{array}{rcl}ax+by+c& =& 0/:b\\ \frac{ax}{b}+y+\frac{c}{b}& =& 0/\text{ despejamos }y\\ y& =& -\frac{ax}{b}-\frac{c}{b}\end{array}$$

Así hemos obtenido la expresión de una función lineal corriente. Como esta expresión es bastante complicada, hacemos una sustitución, es decir, establecemos las igualdades

$$\begin{array}{rcl}m& =& -\frac{a}{b}\\ n& =& -\frac{c}{b}\end{array}$$

y entonces podemos escribir la ecuación anterior en la forma:

$$y=mx+n$$

No es ninguna forma distinta, simplemente en lugar de la fea fracción $-\frac{c}{b}$ hemos escrito n, eso es todo. Como la forma mx + n describe una función lineal corriente, una recta en esta forma no puede ser paralela al eje y. Eso ya lo hemos excluido al decir que b ≠ 0.

Si fuera b = 0, la recta sería paralela al eje y y la ecuación general de una recta así tendría la forma ax + c = 0. Si dividimos esta ecuación entre el número a y la transformamos, obtenemos:

$$\begin{array}{rcl}ax+c& =& 0/:a\\ x+\frac{c}{a}& =& 0\\ x& =& -\frac{c}{a}\end{array}$$

Como la fracción $-\frac{c}{a}$ vuelve a ser fea, introducimos la sustitución $k=-\frac{c}{a}$, de modo que al final obtenemos la ecuación

$$x=k$$

En resumen: toda recta que no es paralela al eje y se puede escribir en la forma y = mx + n, donde m, n ∈ ℝ, y toda recta paralela al eje y se puede escribir en la forma x = k, donde k ∈ ℝ.

A la ecuación de la forma y = mx + n se le llama ecuación explícita de la recta y al coeficiente m lo llamamos pendiente de la recta.

Ejemplo

Tenemos una recta que pasa por los puntos A(2, 8), B(8, 10). Halla su ecuación explícita. La ecuación explícita se determina mejor a partir de la ecuación general de la recta, así que primero la construiremos. La ecuación general tiene la forma ax + by + c = 0, donde (a, b) es el vector normal, así que hallamos el vector normal. El vector director tiene coordenadas (8, 10) − (2, 8) = (6, 2), así que el vector normal $\overrightarrow{\mathbf{n}}$ tiene coordenadas (−2, 6). En la ecuación general podemos sustituir a = −2, b = 6:

$$-2x+6y+c=0$$

En lugar de las coordenadas (x, y) sustituimos en la ecuación algún punto por el que la recta pasa con seguridad. Por ejemplo, el punto B(8, 10). Así que sustituimos en la ecuación x = 8, y = 10:

$$\begin{array}{rcl}-2\cdot 8+6\cdot 10+c& =& 0\\ -16+60+c& =& 0\\ c& =& -44\end{array}$$

Nos sale la ecuación general

$$-2x+6y-44=0$$

Podemos dividir esta ecuación entre −2 y obtenemos una forma algo más bonita:

$$x-3y+22=0$$

La ecuación explícita se obtiene despejando y. Pasamos todos los demás términos al miembro derecho y después dividimos la ecuación entre tres:

$$\begin{array}{rcl}x-3y+22& =& 0\\ -3y& =& -x-22/\cdot -1\\ 3y& =& x+22/\cdot \frac{1}{3}\\ y& =& \frac{1}{3}x+\frac{22}{3}\end{array}$$

La última línea representa la recta en su forma explícita. Si quisiéramos conocer los coeficientes m, n, escribiríamos $m=\frac{1}{3},n=\frac{22}{3}$. También puedes ver la gráfica de la recta con el vector director $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ y el vector normal $\overrightarrow{\mathbf{n}}$:

Si justamente el coeficiente n no nos hubiera salido tan incómodo, $\frac{22}{3}$, verías a primera vista que el coeficiente n determina la coordenada y del punto de corte de la recta con el eje y. El punto de corte con el eje y tiene coordenada x = 0. Si sustituimos esto en la ecuación $y=\frac{1}{3}x+\frac{22}{3}$, obtenemos $y=\frac{1}{3}\cdot 0+\frac{22}{3}=\frac{22}{3}$; es decir, para x = 0 el valor de y es $y=\frac{22}{3}$.

Pendiente de la recta

Si tenemos la ecuación de la recta en su forma explícita y = mx + n, al número m lo llamamos pendiente de la recta. La pendiente de la recta tiene relación con el ángulo que forma la recta con el semieje positivo de abscisas. Fíjate en la figura siguiente:

La figura muestra cuatro rectas distintas con distintas pendientes m, pero siempre con el mismo coeficiente n = 2. Todas las rectas tienen, pues, la forma y = mx + 2. Observa que, a medida que cambia de forma continua el valor de la pendiente, es decir, el número que multiplica a la incógnita x, cambia también el ángulo que forma la recta con el semieje positivo de abscisas. Por ejemplo, la recta violeta $y=\frac{1}{2}x+2$ forma con el semieje un ángulo δ, la recta roja y = x + 2 forma con el semieje un ángulo γ y la recta verde y = 2x + 2 forma con el semieje un ángulo β.

En este caso, cuanto mayor es la pendiente, mayor es también el ángulo que la recta forma con el semieje. La pendiente de la recta violeta $y=\frac{1}{2}x+2$ es $m_1=\frac{1}{2}$, la pendiente de la recta verde y = 2x + 2 es m₂ = 2, y por tanto m₁ < m₂. A la vez se cumple que δ < β. Pero, por ejemplo, la pendiente de la recta azul y = −2x + 2 es m₃ = −2, así que es menor que todas las anteriores y, sin embargo, el ángulo α es el mayor de todos los ángulos.

Vemos que la pendiente m tiene alguna relación con el ángulo. La estudiaremos con más detalle. Dibujemos solo la recta violeta $y=\frac{1}{2}x+2$; nos interesa el ángulo δ. Elegimos en la recta dos puntos distintos cualesquiera A, B y con ellos formamos un triángulo rectángulo ABC, como muestra la figura. Los ángulos δ y ϵ tienen la misma amplitud, porque se trata de ángulos correspondientes.

Intentaremos ahora expresar el ángulo ϵ con ayuda de los segmentos AC y BC. Para poder hacerlo necesitamos conocer las longitudes de estos segmentos. Denotemos las coordenadas de los puntos A y B así: A = (x₁, y₁) = (2, 3) y B = (x₂, y₂) = (6, 5). La longitud del segmento AC será igual a la diferencia |x₂ − x₁| = |6 − 2| = 4. Tomamos la coordenada x del punto B, que coincide con la coordenada x del punto C, y restamos a este número la coordenada x del punto A. Así obtenemos la longitud del segmento AC. Lo mismo hacemos con el segmento BC, solo que tomamos las coordenadas y. Se cumple, pues, |BC| = |y₂ − y₁| = |5 − 3| = 2.

A continuación usaremos las funciones trigonométricas, concretamente la tangente. En el triángulo rectángulo ABC se cumple para el ángulo ϵ que $\tan (ϵ)=\frac{|BC|}{|AC|}$. La tangente del ángulo ϵ es igual a la razón entre el cateto opuesto y el cateto contiguo. Si sustituimos los segmentos por sus longitudes, obtenemos:

$$\tan (ϵ)=\frac{|BC|}{|AC|}=\frac{|y_2-y_1|}{|x_2-x_1|}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

La tangente del ángulo ϵ, que es igual al ángulo δ, nos ha salido $\frac{1}{2}$. La tangente del ángulo que forma la recta con el semieje positivo de abscisas es $\frac{1}{2}$. Y la ecuación de esta recta es $y=\frac{1}{2}x+2$; es decir, ¡la tangente del ángulo que forma la recta con el semieje positivo de abscisas coincide con la pendiente de esta recta! No es casualidad y se cumple en general:

Si tenemos una recta r que tiene la ecuación explícita y = mx + n, entonces la pendiente m es igual a la tangente del ángulo que forma la recta r con el semieje positivo de abscisas.