Forma esplicita della retta

La forma esplicita della retta si basa sull’ampiezza dell’angolo che la retta forma con l’asse x.

Motivazione

Abbiamo una retta r con equazione implicita ax + by + c = 0. Sappiamo che il grafico di una funzione lineare è proprio una retta. Di solito, poi, una funzione lineare si scrive nella forma y = f(x). Potremmo quindi voler portare l’equazione implicita ax + by + c = 0 proprio a questa forma. Per riuscirci ci serve b ≠ 0, perché dobbiamo isolare y e quindi dividere tutta l’equazione per b. Se dunque b ≠ 0, possiamo trasformare l’equazione implicita così:

$$\begin{array}{rcl}ax+by+c& =& 0/:b\\ \frac{ax}{b}+y+\frac{c}{b}& =& 0/\text{ isoliamo }y\\ y& =& -\frac{ax}{b}-\frac{c}{b}\end{array}$$

Abbiamo così ottenuto la scrittura di una comune funzione lineare. Poiché questa scrittura è piuttosto pesante, facciamo una sostituzione, ponendo

$$\begin{array}{rcl}m& =& -\frac{a}{b}\\ q& =& -\frac{c}{b}\end{array}$$

e possiamo allora scrivere l’equazione precedente nella forma:

$$y=mx+q$$

Non è una forma diversa: al posto della brutta frazione $-\frac{c}{b}$ abbiamo semplicemente scritto q, tutto qui. Poiché la forma mx + q descrive una comune funzione lineare, una retta scritta in questa forma non può essere parallela all’asse y. Del resto l’abbiamo già escluso dicendo che b ≠ 0.

Se invece fosse b = 0, la retta sarebbe parallela all’asse y e la sua equazione implicita avrebbe la forma ax + c = 0. Se dividiamo questa equazione per il numero a e la sistemiamo, otteniamo:

$$\begin{array}{rcl}ax+c& =& 0/:a\\ x+\frac{c}{a}& =& 0\\ x& =& -\frac{c}{a}\end{array}$$

Anche la frazione $-\frac{c}{a}$ è brutta, quindi introduciamo la sostituzione $k=-\frac{c}{a}$ e alla fine otteniamo l’equazione

$$x=k$$

Riassumendo, ogni retta che non è parallela all’asse y si può scrivere nella forma y = mx + q, con m, q ∈ ℝ, mentre ogni retta parallela all’asse y si può scrivere nella forma x = k, con k ∈ ℝ.

L’equazione nella forma y = mx + q si chiama forma esplicita della retta e il coefficiente m si chiama coefficiente angolare della retta.

Esempio

Abbiamo una retta che passa per i punti A(2; 8), B(8; 10). Determina la forma esplicita della retta. La forma esplicita si ricava meglio dall’equazione implicita della retta, quindi prima la costruiamo. L’equazione implicita ha la forma ax + by + c = 0, dove (a; b) è un vettore normale, quindi dobbiamo trovare un vettore normale. Il vettore direttore ha componenti (8; 10) − (2; 8) = (6; 2), quindi il vettore normale $\overrightarrow{\mathbf{n}}$ ha componenti (−2; 6). Nell’equazione implicita possiamo allora sostituire a = −2, b = 6:

$$-2x+6y+c=0$$

Al posto delle coordinate (x; y) sostituiamo nell’equazione un punto per il quale la retta passa sicuramente. Ad esempio il punto B(8; 10). Sostituiamo quindi nell’equazione x = 8, y = 10:

$$\begin{array}{rcl}-2\cdot 8+6\cdot 10+c& =& 0\\ -16+60+c& =& 0\\ c& =& -44\end{array}$$

Otteniamo l’equazione implicita

$$-2x+6y-44=0$$

Possiamo dividere questa equazione per −2 e ottenere una forma un po’ più semplice:

$$x-3y+22=0$$

La forma esplicita si ottiene isolando y. Portiamo tutti gli altri termini a destra e poi dividiamo l’equazione per tre:

$$\begin{array}{rcl}x-3y+22& =& 0\\ -3y& =& -x-22/\cdot -1\\ 3y& =& x+22/\cdot \frac{1}{3}\\ y& =& \frac{1}{3}x+\frac{22}{3}\end{array}$$

L’ultima riga rappresenta la retta in forma esplicita. Se vogliamo conoscere i coefficienti m, q, scriviamo $m=\frac{1}{3},q=\frac{22}{3}$. Puoi anche osservare il grafico della retta con il vettore direttore $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ e il vettore normale $\overrightarrow{\mathbf{n}}$:

Se il coefficiente q non fosse venuto così scomodo, $\frac{22}{3}$, vedresti a colpo d’occhio che q determina l’ordinata del punto in cui la retta interseca l’asse y. Il punto di intersezione con l’asse y ha ascissa x = 0. Sostituendo nell’equazione $y=\frac{1}{3}x+\frac{22}{3}$, otteniamo $y=\frac{1}{3}\cdot 0+\frac{22}{3}=\frac{22}{3}$, cioè per x = 0 la y vale $y=\frac{22}{3}$.

Coefficiente angolare della retta

Se l’equazione di una retta è in forma esplicita y = mx + q, il numero m si chiama coefficiente angolare della retta. Il coefficiente angolare è legato all’angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle x. Osserva la figura seguente:

La figura mostra quattro rette diverse con coefficienti angolari m diversi, ma sempre con lo stesso coefficiente q = 2. Tutte le rette hanno quindi la forma y = mx + 2. Nota che, al variare con continuità del coefficiente angolare, cioè del numero che moltiplica l’incognita x, varia anche l’angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle x. Ad es. la retta viola $y=\frac{1}{2}x+2$ forma con il semiasse l’angolo δ, la retta rossa y = x + 2 forma l’angolo γ e la retta verde y = 2x + 2 forma l’angolo β.

In questo caso, più grande è il coefficiente angolare, più grande è anche l’angolo che la retta forma con il semiasse. Il coefficiente angolare della retta viola $y=\frac{1}{2}x+2$ è $m_1=\frac{1}{2}$, quello della retta verde y = 2x + 2 è m₂ = 2, quindi m₁ < m₂. Vale inoltre δ < β. Ma ad es. il coefficiente angolare della retta blu y = −2x + 2 è m₃ = −2, quindi è minore di tutti i precedenti, eppure l’angolo α è il più grande di tutti.

Vediamo che il coefficiente angolare m ha una qualche relazione con l’angolo. Studiamola più da vicino. Disegniamo solo la retta viola $y=\frac{1}{2}x+2$ e ci interessa l’angolo δ. Scegliamo sulla retta due punti qualsiasi distinti A, B e con essi costruiamo il triangolo rettangolo ABC, come nella figura. Gli angoli δ e ϵ hanno la stessa ampiezza, perché sono angoli corrispondenti.

Cerchiamo ora di esprimere l’angolo ϵ per mezzo dei segmenti AC e BC. Per farlo dobbiamo conoscere le lunghezze di questi segmenti. Indichiamo le coordinate dei punti A e B così: A = (x₁; y₁) = (2; 3) e B = (x₂; y₂) = (6; 5). La lunghezza del segmento AC è uguale alla differenza |x₂ − x₁| = |6 − 2| = 4. Prendiamo l’ascissa del punto B, che coincide con l’ascissa del punto C, e sottraiamo da questo numero l’ascissa del punto A. Così otteniamo la lunghezza del segmento AC. Lo stesso facciamo con il segmento BC, solo che prendiamo le ordinate. Vale quindi |BC| = |y₂ − y₁| = |5 − 3| = 2.

Usiamo poi le funzioni goniometriche, in particolare la tangente. Nel triangolo rettangolo ABC per l’angolo ϵ vale $\tan (ϵ)=\frac{|BC|}{|AC|}$. La tangente dell’angolo ϵ è uguale al rapporto tra il cateto opposto e il cateto adiacente. Se al posto dei segmenti sostituiamo le loro lunghezze, otteniamo:

$$\tan (ϵ)=\frac{|BC|}{|AC|}=\frac{|y_2-y_1|}{|x_2-x_1|}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

La tangente dell’angolo ϵ, che è uguale all’angolo δ, è dunque risultata $\frac{1}{2}$. La tangente dell’angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle x è $\frac{1}{2}$. D’altra parte l’equazione di questa retta è $y=\frac{1}{2}x+2$, quindi la tangente dell’angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle x coincide con il coefficiente angolare di questa retta! Non è un caso e vale in generale:

Data una retta r di equazione esplicita y = mx + q, il coefficiente angolare m è uguale alla tangente dell’angolo che la retta r forma con il semiasse positivo delle x.