Ecuația dreptei cu pantă

Ecuația dreptei cu pantă pornește de la măsura unghiului pe care dreapta îl face cu axa Ox.

Motivație

Avem dreapta p care are ecuația generală ax + by + c = 0. Știm că graficul unei funcții de gradul întâi este tocmai o dreaptă. Funcția de gradul întâi o scriem de obicei sub forma y = f(x). Am putea deci să vrem să transformăm ecuația generală a dreptei ax + by + c = 0 chiar în această formă. Pentru aceasta avem nevoie ca b ≠ 0, pentru că trebuie să izolăm pe y în ecuație și deci să împărțim toată ecuația la b. Dacă b ≠ 0, putem transforma ecuația generală astfel:

$$\begin{array}{rcl}ax+by+c& =& 0/:b\\ \frac{ax}{b}+y+\frac{c}{b}& =& 0/\text{ izolăm }y\\ y& =& -\frac{ax}{b}-\frac{c}{b}\end{array}$$

Am obținut astfel scrierea unei funcții de gradul întâi obișnuite. Deoarece această scriere este destul de complicată, facem o înlocuire și punem egalitățile

$$\begin{array}{rcl}m& =& -\frac{a}{b}\\ n& =& -\frac{c}{b}\end{array}$$

iar apoi ecuația precedentă o putem scrie sub forma:

$$y=mx+n$$

Nu este o altă formă, doar că în loc de fracția urâtă $-\frac{c}{b}$ am scris n, atât. Deoarece expresia mx + n descrie o funcție de gradul întâi obișnuită, o dreaptă scrisă în această formă nu poate fi paralelă cu axa Oy. Am exclus asta, de altfel, chiar prin faptul că am spus că b ≠ 0.

Dacă am avea b = 0, dreapta ar fi paralelă cu axa Oy, iar ecuația generală a unei astfel de drepte ar avea forma ax + c = 0. Dacă împărțim această ecuație la numărul a și o transformăm, obținem:

$$\begin{array}{rcl}ax+c& =& 0/:a\\ x+\frac{c}{a}& =& 0\\ x& =& -\frac{c}{a}\end{array}$$

Deoarece fracția $-\frac{c}{a}$ este iarăși urâtă, introducem notația $x_0=-\frac{c}{a}$, astfel încât obținem în final ecuația

$$x=x_0$$

Pe scurt, orice dreaptă care nu este paralelă cu axa Oy o putem scrie sub forma y = mx + n, unde m, n ∈ ℝ, iar orice dreaptă paralelă cu axa Oy o putem scrie sub forma x = x₀, unde x₀ ∈ ℝ.

Ecuația de forma y = mx + n se numește ecuația dreptei cu pantă, iar coeficientul m se numește panta dreptei.

Exemplu

Avem dreapta care trece prin punctele A(2, 8), B(8, 10). Determină ecuația dreptei cu pantă. Ecuația cu pantă se determină cel mai bine din ecuația generală a dreptei, așa că o construim mai întâi pe aceasta. Ecuația generală are forma ax + by + c = 0, unde (a, b) este vectorul normal, deci aflăm vectorul normal. Vectorul director are coordonatele (8, 10) − (2, 8) = (6, 2), deci vectorul normal $\overrightarrow{n}$ are coordonatele (−2, 6). În ecuația generală putem deci înlocui a = −2, b = 6:

$$-2x+6y+c=0$$

În locul coordonatelor (x, y) înlocuim în ecuație un punct prin care dreapta trece cu siguranță. De exemplu punctul B(8, 10). Înlocuim deci în ecuație x = 8, y = 10:

$$\begin{array}{rcl}-2\cdot 8+6\cdot 10+c& =& 0\\ -16+60+c& =& 0\\ c& =& -44\end{array}$$

Obținem ecuația generală

$$-2x+6y-44=0$$

Putem împărți această ecuație la −2 și obținem o formă ceva mai frumoasă:

$$x-3y+22=0$$

Ecuația cu pantă o obținem izolând pe y. Trecem toți ceilalți termeni în membrul drept, iar apoi împărțim ecuația la trei:

$$\begin{array}{rcl}x-3y+22& =& 0\\ -3y& =& -x-22/\cdot (-1)\\ 3y& =& x+22/\cdot \frac{1}{3}\\ y& =& \frac{1}{3}x+\frac{22}{3}\end{array}$$

Ultima linie reprezintă dreapta în forma cu pantă. Dacă vrem să cunoaștem coeficienții m, n, scriem $m=\frac{1}{3},n=\frac{22}{3}$. Mai poți privi graficul dreptei cu vectorul director $\overrightarrow{u}$ și vectorul normal $\overrightarrow{n}$:

Dacă coeficientul n nu ne-ar fi ieșit chiar atât de incomod, $\frac{22}{3}$, ai vedea de la prima privire că coeficientul n determină coordonata y a punctului de intersecție al dreptei cu axa Oy. Punctul de intersecție cu axa Oy are coordonata x = 0. Dacă înlocuim aceasta în ecuația $y=\frac{1}{3}x+\frac{22}{3}$, obținem $y=\frac{1}{3}\cdot 0+\frac{22}{3}=\frac{22}{3}$, deci pentru x = 0 valoarea lui y este $y=\frac{22}{3}$.

Panta dreptei

Dacă avem ecuația dreptei în forma cu pantă y = mx + n, numărul m se numește panta dreptei. Panta dreptei are legătură cu unghiul pe care dreapta îl face cu semiaxa pozitivă Ox. Privește figura următoare:

Figura prezintă patru drepte diferite, cu pante m diferite, dar întotdeauna cu același coeficient n = 2. Toate dreptele au deci forma y = mx + 2. Observă că, odată cu schimbarea continuă a pantei, adică a numărului din fața necunoscutei x, se schimbă și unghiul pe care dreapta îl face cu semiaxa pozitivă Ox. De exemplu, dreapta mov $y=\frac{1}{2}x+2$ face cu semiaxa unghiul δ, dreapta roșie y = x + 2 face cu semiaxa unghiul γ, iar dreapta verde y = 2x + 2 face cu semiaxa unghiul β.

În acest caz, cu cât panta este mai mare, cu atât este mai mare și unghiul pe care dreapta îl face cu semiaxa. Panta dreptei mov $y=\frac{1}{2}x+2$ este $m_1=\frac{1}{2}$, panta dreptei verzi y = 2x + 2 este m₂ = 2, deci m₁ < m₂. Totodată δ < β. Dar, de exemplu, panta dreptei albastre y = −2x + 2 este m₃ = −2, deci este mai mică decât toate cele precedente, și totuși unghiul α este cel mai mare dintre toate unghiurile.

Vedem că panta m are o legătură oarecare cu unghiul. Să o cercetăm mai îndeaproape. Afișăm doar dreapta mov $y=\frac{1}{2}x+2$ și ne interesează unghiul δ. Alegem pe dreaptă două puncte distincte oarecare A, B și construim cu ele un triunghi dreptunghic ABC, așa cum este arătat în figură. Unghiurile δ și ϵ au aceeași măsură, deoarece sunt unghiuri corespondente.

Vom încerca acum să exprimăm unghiul ϵ cu ajutorul segmentelor AC și BC. Pentru a putea face asta, trebuie să cunoaștem lungimile acestor segmente. Notăm coordonatele punctelor A și B astfel: A(x₁, y₁) = (2, 3) și B(x₂, y₂) = (6, 5). Lungimea segmentului AC este deci egală cu diferența |x₂ − x₁| = |6 − 2| = 4. Luăm coordonata x a punctului B, care coincide cu coordonata x a punctului C, și scădem din acest număr coordonata x a punctului A. Obținem astfel lungimea segmentului AC. Facem la fel cu segmentul BC, doar că luăm coordonatele y. Avem deci |BC| = |y₂ − y₁| = |5 − 3| = 2.

În continuare folosim funcțiile trigonometrice, mai exact tangenta. În triunghiul dreptunghic ABC avem pentru unghiul ϵ egalitatea $\mathrm{tg}(ϵ)=\frac{|BC|}{|AC|}$. Tangenta unghiului ϵ este egală cu raportul dintre cateta opusă și cateta alăturată. Dacă înlocuim segmentele cu lungimile lor, obținem:

$$\mathrm{tg}(ϵ)=\frac{|BC|}{|AC|}=\frac{|y_2-y_1|}{|x_2-x_1|}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

Tangenta unghiului ϵ, care este egal cu unghiul δ, ne-a ieșit deci $\frac{1}{2}$. Tangenta unghiului pe care dreapta îl face cu semiaxa pozitivă Ox este $\frac{1}{2}$. Iar ecuația acestei drepte este $y=\frac{1}{2}x+2$, deci tangenta unghiului pe care dreapta îl face cu semiaxa pozitivă Ox coincide cu panta acestei drepte! Nu este o întâmplare, ci este valabil în general:

Dacă avem o dreaptă p care are ecuația cu pantă y = mx + n, atunci panta m este egală cu tangenta unghiului pe care dreapta p îl face cu semiaxa pozitivă Ox.