Linjens ligning y = ax + b

Linjens ligning på formen y = ax + b tager udgangspunkt i størrelsen af den vinkel, som linjen danner med x-aksen.

Motivation

Vi har en linje p, som har ligningen ax + by + c = 0. Vi ved, at grafen for en lineær funktion netop er en linje. Samtidig skriver vi som regel en lineær funktion på formen y = f(x). Vi kunne derfor have lyst til at omskrive linjens ligning ax + by + c = 0 netop til denne form. For at nå det skal der gælde b ≠ 0, for vi skal isolere y i ligningen og altså dividere hele ligningen med b. Hvis b ≠ 0, kan vi omskrive linjens ligning sådan her:

$$\begin{array}{rcl}ax+by+c& =& 0/:b\\ \frac{ax}{b}+y+\frac{c}{b}& =& 0/\text{ isolér }y\\ y& =& -\frac{ax}{b}-\frac{c}{b}\end{array}$$

Dermed har vi fået skrivemåden for en almindelig lineær funktion. Fordi denne skrivemåde er ret besværlig, indfører vi nogle nye betegnelser, så vi sætter

$$\begin{array}{rcl}k& =& -\frac{a}{b}\\ q& =& -\frac{c}{b}\end{array}$$

og så kan vi skrive den foregående ligning på formen:

$$y=kx+q$$

(Normalt skriver man y = ax + b, men a og b er allerede brugt i ax + by + c = 0.)

Det er ikke nogen anden form, vi har bare skrevet q i stedet for den grimme brøk $-\frac{c}{b}$, det er det hele. Fordi kx + q beskriver en almindelig lineær funktion, kan en linje på denne form ikke være parallel med y-aksen. Det har vi i øvrigt allerede udelukket ved at sige, at b ≠ 0.

Hvis der gjaldt b = 0, ville linjen være parallel med y-aksen, og ligningen for en sådan linje ville have formen ax + c = 0. Hvis vi dividerer denne ligning med tallet a og omformer, får vi:

$$\begin{array}{rcl}ax+c& =& 0/:a\\ x+\frac{c}{a}& =& 0\\ x& =& -\frac{c}{a}\end{array}$$

Fordi brøken $-\frac{c}{a}$ igen er grim, indfører vi substitutionen $m=-\frac{c}{a}$, så vi til sidst får ligningen

$$x=m$$

Sammenfattende kan vi skrive hver linje, der ikke er parallel med y-aksen, på formen y = kx + q, hvor k, q ∈ ℝ, og hver linje, der er parallel med y-aksen, på formen x = m, hvor m ∈ ℝ.

Ligningen y = kx + q er altså linjens ligning på formen y = ax + b, og koefficienten k kalder vi linjens hældningskoefficient.

Eksempel

Vi har en linje, som går gennem punkterne A(2, 8), B(8, 10). Bestem linjens ligning på formen y = kx + q. Den bestemmes bedst ud fra linjens ligning på formen ax + by + c = 0, så vi opstiller først den. Ligningen har formen ax + by + c = 0, hvor $\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$ er normalvektoren, så vi finder normalvektoren. Retningsvektoren har koordinaterne $(8,10)-(2,8)=\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)$, så normalvektoren $\overrightarrow{\mathbf{n}}$ har koordinaterne $\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\end{array}\right)$. I ligningen kan vi altså indsætte a = −2, b = 6:

$$-2x+6y+c=0$$

For koordinaterne (x, y) indsætter vi i ligningen et punkt, som linjen med sikkerhed går gennem. For eksempel punktet B(8, 10). Vi indsætter altså x = 8, y = 10 i ligningen:

$$\begin{array}{rcl}-2\cdot 8+6\cdot 10+c& =& 0\\ -16+60+c& =& 0\\ c& =& -44\end{array}$$

Vi får ligningen

$$-2x+6y-44=0$$

Vi kan dividere denne ligning med −2 og få en lidt pænere form:

$$x-3y+22=0$$

Linjens ligning på formen y = kx + q får vi ved at isolere y. Vi flytter alle de andre led over på højre side og dividerer derefter ligningen med tre:

$$\begin{array}{rcl}x-3y+22& =& 0\\ -3y& =& -x-22/\cdot -1\\ 3y& =& x+22/\cdot \frac{1}{3}\\ y& =& \frac{1}{3}x+\frac{22}{3}\end{array}$$

Den sidste række er linjens ligning på formen y = kx + q. Hvis vi vil kende koefficienterne k, q, skriver vi $k=\frac{1}{3},q=\frac{22}{3}$. Du kan også se grafen for linjen med retningsvektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ og normalvektoren $\overrightarrow{\mathbf{n}}$:

Hvis koefficienten q ikke lige var kommet ud så uhensigtsmæssigt som $\frac{22}{3}$, kunne du have set med det samme, at koefficienten q bestemmer y-koordinaten til linjens skæringspunkt med y-aksen. Skæringspunktet med y-aksen har x-koordinaten x = 0. Når vi indsætter dette i ligningen $y=\frac{1}{3}x+\frac{22}{3}$, får vi $y=\frac{1}{3}\cdot 0+\frac{22}{3}=\frac{22}{3}$, altså for x = 0 har y værdien $y=\frac{22}{3}$.

Linjens hældningskoefficient

Hvis vi har linjens ligning på formen y = kx + q, kalder vi tallet k for linjens hældningskoefficient. Hældningskoefficienten hænger sammen med den vinkel, som linjen danner med den positive x-akse. Se på den følgende figur:

Figuren viser fire forskellige linjer med forskellige hældningskoefficienter k, men altid med den samme koefficient q = 2. Alle linjerne har altså formen y = kx + 2. Læg mærke til, at når værdien af hældningskoefficienten, dvs. tallet foran den ubekendte x, ændrer sig jævnt, ændrer også den vinkel sig, som linjen danner med den positive x-akse. For eksempel danner den lilla linje $y=\frac{1}{2}x+2$ vinklen δ med aksen, den røde linje y = x + 2 danner vinklen γ, og den grønne linje y = 2x + 2 danner vinklen β.

I dette tilfælde gælder det, at jo større hældningskoefficienten er, jo større er også den vinkel, som linjen danner med aksen. Hældningskoefficienten for den lilla linje $y=\frac{1}{2}x+2$ er $k_1=\frac{1}{2}$, hældningskoefficienten for den grønne linje y = 2x + 2 er k₂ = 2, og der gælder altså k₁ < k₂. Samtidig gælder, at δ < β. Men for eksempel hældningskoefficienten for den blå linje y = −2x + 2 er k₃ = −2, den er altså mindre end alle de foregående, og alligevel er vinklen α den største af alle vinklerne.

Vi ser, at hældningskoefficienten k har en eller anden sammenhæng med vinklen. Den undersøger vi nærmere. Vi viser kun den lilla linje $y=\frac{1}{2}x+2$, og vi interesserer os for vinklen δ. På linjen vælger vi to vilkårlige forskellige punkter A, B og danner ud fra dem en retvinklet trekant ABC, som vist på figuren. Der vil gælde, at vinklerne δ og ϵ har samme størrelse, fordi det er ensliggende vinkler.

Nu vil vi prøve at udtrykke vinklen ϵ ved hjælp af linjestykkerne AC og BC. For at kunne gøre det skal vi kende længderne af disse linjestykker. Vi betegner koordinaterne til punkterne A og B sådan her: A = (x₁, y₁) = (2, 3) og B = (x₂, y₂) = (6, 5). Længden af linjestykket AC er så lig med differensen |x₂ − x₁| = |6 − 2| = 4. Vi tager x-koordinaten til punktet B, som er den samme som x-koordinaten til punktet C, og trækker x-koordinaten til punktet A fra dette tal. Dermed får vi længden af linjestykket AC. Det samme gør vi med linjestykket BC, men vi tager y-koordinaterne. Der gælder altså |BC| = |y₂ − y₁| = |5 − 3| = 2.

Derefter bruger vi trigonometriske funktioner, konkret tangens. I den retvinklede trekant ABC gælder for vinklen ϵ, at $\tan (ϵ)=\frac{|BC|}{|AC|}$. Tangens til vinklen ϵ er lig med forholdet mellem den modstående katete og den hosliggende katete. Hvis vi indsætter længderne for linjestykkerne, får vi:

$$\tan (ϵ)=\frac{|BC|}{|AC|}=\frac{|y_2-y_1|}{|x_2-x_1|}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

Tangens til vinklen ϵ, som er den samme som vinklen δ, blev altså $\frac{1}{2}$. Tangens til den vinkel, som linjen danner med den positive x-akse, er $\frac{1}{2}$. Samtidig er ligningen for denne linje $y=\frac{1}{2}x+2$, altså er tangens til den vinkel, som linjen danner med den positive x-akse, den samme som linjens hældningskoefficient! Det er ikke tilfældigt, og det gælder generelt:

Hvis vi har en linje p, som har ligningen y = kx + q, så er hældningskoefficienten k lig med tangens til den vinkel, som linjen p danner med den positive x-akse.