Az egyenes meredekség-tengelymetszetes alakja

Az egyenes meredekség-tengelymetszetes alakja az egyenesnek és az x tengelynek a szögéből indul ki.

Motiváció

Adott a p egyenes, amelynek általános egyenlete ax + by + c = 0. Tudjuk, hogy a lineáris függvény grafikonja éppen egyenes. A lineáris függvényt pedig általában y = f(x) alakban írjuk fel. Szeretnénk tehát az egyenes ax + by + c = 0 általános egyenletét erre az alakra átírni. Ehhez az kell, hogy b ≠ 0 legyen, mert ki kell fejeznünk az egyenletből az y-t, vagyis az egész egyenletet el kell osztanunk b-vel. Ha tehát b ≠ 0, az általános egyenletet így alakíthatjuk át:

$$\begin{array}{rcl}ax+by+c& =& 0/:b\\ \frac{ax}{b}+y+\frac{c}{b}& =& 0/\text{ kifejezzük az }y\text{-t}\\ y& =& -\frac{ax}{b}-\frac{c}{b}\end{array}$$

Ezzel megkaptuk a szokásos lineáris függvény felírását. Mivel ez a felírás elég bonyolult, új jelöléseket vezetünk be, vagyis legyen

$$\begin{array}{rcl}m& =& -\frac{a}{b}\\ n& =& -\frac{c}{b}\end{array}$$

és ezután az előző egyenletet így írhatjuk:

$$y=mx+n$$

Ez nem valamilyen más alak, csak a csúnya $-\frac{c}{b}$ tört helyett n-et írtunk, ennyi az egész. Mivel az mx + n alak a szokásos lineáris függvényt írja le, az ebben az alakban felírt egyenes nem lehet párhuzamos az y tengellyel. Ezt egyébként már azzal kizártuk, hogy b ≠ 0.

Ha b = 0 lenne, az egyenes párhuzamos lenne az y tengellyel, és az ilyen egyenes általános egyenlete ax + c = 0 alakú. Ha ezt az egyenletet elosztjuk a-val és átalakítjuk, kapjuk:

$$\begin{array}{rcl}ax+c& =& 0/:a\\ x+\frac{c}{a}& =& 0\\ x& =& -\frac{c}{a}\end{array}$$

Mivel a $-\frac{c}{a}$ tört megint csúnya, bevezetjük a $d=-\frac{c}{a}$ jelölést, és végül megkapjuk az

$$x=d$$

egyenletet. Összefoglalva: minden olyan egyenest, amely nem párhuzamos az y tengellyel, felírhatunk y = mx + n alakban, ahol m, n ∈ ℝ, és minden az y tengellyel párhuzamos egyenest felírhatunk x = d alakban, ahol d ∈ ℝ.

Az y = mx + n alakú egyenletet az egyenes meredekség-tengelymetszetes alakjának nevezzük, az m együtthatót pedig az egyenes meredekségének.

Példa

Adott egy egyenes, amely átmegy az A(2; 8) és a B(8; 10) ponton. Határozzuk meg az egyenes meredekség-tengelymetszetes alakját. Ezt legkönnyebben az egyenes általános egyenletéből kapjuk, ezért először azt írjuk fel. Az általános egyenlet alakja ax + by + c = 0, ahol (a; b) a normálvektor, tehát keressük meg a normálvektort. Az irányvektor koordinátái (8; 10) − (2; 8) = (6; 2), ezért az $\overrightarrow{n}$ normálvektor koordinátái (−2; 6). Az általános egyenletbe tehát a = −2, b = 6 helyettesíthető:

$$-2x+6y+c=0$$

Az (x; y) koordináták helyére behelyettesítünk egy olyan pontot, amelyen az egyenes biztosan átmegy, például a B(8; 10) pontot. Az egyenletbe tehát x = 8, y = 10 kerül:

$$\begin{array}{rcl}-2\cdot 8+6\cdot 10+c& =& 0\\ -16+60+c& =& 0\\ c& =& -44\end{array}$$

Az általános egyenlet tehát

$$-2x+6y-44=0$$

Ezt az egyenletet eloszthatjuk −2-vel, így egy kicsit szebb alakot kapunk:

$$x-3y+22=0$$

A meredekség-tengelymetszetes alakot úgy kapjuk, hogy kifejezzük az y-t. Az összes többi tagot átvisszük a jobb oldalra, majd az egyenletet elosztjuk hárommal:

$$\begin{array}{rcl}x-3y+22& =& 0\\ -3y& =& -x-22/\cdot -1\\ 3y& =& x+22/\cdot \frac{1}{3}\\ y& =& \frac{1}{3}x+\frac{22}{3}\end{array}$$

Az utolsó sor az egyenest meredekség-tengelymetszetes alakban adja meg. Ha az m, n együtthatókat is ismerni szeretnénk, felírjuk: $m=\frac{1}{3},n=\frac{22}{3}$. Megnézheted még az egyenes grafikonját az $\overrightarrow{u}$ irányvektorral és az $\overrightarrow{n}$ normálvektorral:

Ha az n együttható nem pont ilyen kényelmetlenül, $\frac{22}{3}$-ra jönne ki, első pillantásra látnád, hogy az n együttható az egyenes és az y tengely metszéspontjának y koordinátáját adja meg. Az y tengellyel vett metszéspont x koordinátája x = 0. Ezt behelyettesítve az $y=\frac{1}{3}x+\frac{22}{3}$ egyenletbe kapjuk, hogy $y=\frac{1}{3}\cdot 0+\frac{22}{3}=\frac{22}{3}$, tehát x = 0 esetén az y értéke $y=\frac{22}{3}$.

Az egyenes meredeksége

Ha az egyenes egyenlete meredekség-tengelymetszetes alakban, y = mx + n van megadva, az m számot az egyenes meredekségének nevezzük. Az egyenes meredeksége kapcsolatban van azzal a szöggel, amelyet az egyenes az x tengely pozitív felével bezár. Nézd meg a következő ábrát:

Az ábrán négy különböző egyenes látható különböző m meredekséggel, de mindig ugyanazzal az n = 2 együtthatóval. Mindegyik egyenes tehát y = mx + 2 alakú. Figyeld meg, hogy ahogy folyamatosan változik a meredekség értéke, vagyis az x ismeretlen előtti szám, úgy változik az egyenesnek az x tengely pozitív felével bezárt szöge is. Például a lila $y=\frac{1}{2}x+2$ egyenes δ szöget zár be a tengellyel, a piros y = x + 2 egyenes γ szöget, a zöld y = 2x + 2 egyenes pedig β szöget.

Ebben az esetben igaz, hogy minél nagyobb a meredekség, annál nagyobb az a szög, amelyet az egyenes a tengellyel bezár. A lila $y=\frac{1}{2}x+2$ egyenes meredeksége $m_1=\frac{1}{2}$, a zöld y = 2x + 2 egyenes meredeksége m₂ = 2, tehát m₁ < m₂. Ugyanakkor δ < β. A kék y = −2x + 2 egyenes meredeksége viszont m₃ = −2, ez kisebb az összes előzőnél, az α szög mégis az összes szög közül a legnagyobb.

Látjuk, hogy az m meredekségnek van valamilyen kapcsolata a szöggel. Vizsgáljuk meg közelebbről. Rajzoljuk meg csak a lila $y=\frac{1}{2}x+2$ egyenest, és a δ szög érdekel minket. Válasszunk az egyenesen két tetszőleges különböző pontot, A-t és B-t, és szerkesszünk belőlük egy ABC derékszögű háromszöget, ahogy az ábra mutatja. Igaz lesz, hogy a δ és az ϵ szög egyenlő nagyságú, mert egyállású szögek.

Most megpróbáljuk kifejezni az ϵ szöget az AC és BC szakaszokkal. Ehhez ismernünk kell e szakaszok hosszát. Jelöljük az A és B pont koordinátáit így: A = (x₁; y₁) = (2; 3) és B = (x₂; y₂) = (6; 5). Az AC szakasz hossza ekkor egyenlő az |x₂ − x₁| = |6 − 2| = 4 különbséggel. Vesszük a B pont x koordinátáját, amely megegyezik a C pont x koordinátájával, és kivonjuk belőle az A pont x koordinátáját. Így megkapjuk az AC szakasz hosszát. Ugyanezt tesszük a BC szakasszal, csak az y koordinátákkal. Tehát |BC| = |y₂ − y₁| = |5 − 3| = 2.

Ezután használjuk a szögfüggvényeket, konkrétan a tangenst. Az ABC derékszögű háromszögben az ϵ szögre $\mathrm{tg}(ϵ)=\frac{|BC|}{|AC|}$. Az ϵ szög tangense a szöggel szemközti befogó és a szög melletti befogó hosszának hányadosa. Ha a szakaszok helyére behelyettesítjük a hosszukat, kapjuk:

$$\mathrm{tg}(ϵ)=\frac{|BC|}{|AC|}=\frac{|y_2-y_1|}{|x_2-x_1|}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

Az ϵ szög – amely egyenlő a δ szöggel – tangense tehát $\frac{1}{2}$ lett. Az egyenes és az x tengely pozitív fele által bezárt szög tangense $\frac{1}{2}$. Ennek az egyenesnek az egyenlete pedig $y=\frac{1}{2}x+2$, vagyis az egyenes és az x tengely pozitív fele által bezárt szög tangense megegyezik az egyenes meredekségével! Ez nem véletlen, és általánosan igaz:

Ha a p egyenes meredekség-tengelymetszetes egyenlete y = mx + n, akkor az m meredekség egyenlő annak a szögnek a tangensével, amelyet a p egyenes az x tengely pozitív felével bezár.