Уравнение на права с ъглов коефициент

Уравнението на права с ъглов коефициент изхожда от мярката на ъгъла, който правата сключва с оста x.

Мотивация

Имаме права p, която има общо уравнение Ax + By + C = 0. Знаем, че графиката на линейна функция е права. При това линейната функция обикновено записваме във вида y = f(x). Бихме могли да поискаме да преобразуваме общото уравнение на права Ax + By + C = 0 точно в този вид. За целта ни трябва B ≠ 0, защото трябва да изразим y от уравнението и следователно да разделим цялото уравнение на B. Ако B ≠ 0, можем да преобразуваме общото уравнение така:

$$\begin{array}{rcl}Ax+By+C& =& 0/:B\\ \frac{Ax}{B}+y+\frac{C}{B}& =& 0/\text{ изразяваме }y\\ y& =& -\frac{Ax}{B}-\frac{C}{B}\end{array}$$

Така получихме записа на обикновена линейна функция. Тъй като този запис е доста тромав, въвеждаме означения, т.е. полагаме

$$\begin{array}{rcl}k& =& -\frac{A}{B}\\ b& =& -\frac{C}{B}\end{array}$$

и тогава предишното уравнение можем да запишем във вида:

$$y=kx+b$$

Това не е някакъв друг вид, просто вместо неудобната дроб $-\frac{C}{B}$ написахме b, това е всичко. Тъй като видът kx + b описва обикновена линейна функция, права в този вид не може да бъде успоредна на оста y. Това всъщност изключихме още когато казахме, че B ≠ 0.

Ако пък е изпълнено B = 0, правата би била успоредна на оста y и общото уравнение на такава права би имало вида Ax + C = 0. Ако разделим това уравнение на числото A и го преобразуваме, получаваме:

$$\begin{array}{rcl}Ax+C& =& 0/:A\\ x+\frac{C}{A}& =& 0\\ x& =& -\frac{C}{A}\end{array}$$

Тъй като дробта $-\frac{C}{A}$ отново е неудобна, въвеждаме означението $m=-\frac{C}{A}$, така че накрая получаваме уравнението

$$x=m$$

Обобщено: всяка права, която не е успоредна на оста y, можем да запишем във вида y = kx + b, където k, b ∈ ℝ, а всяка права, успоредна на оста y, можем да запишем във вида x = m, където m ∈ ℝ.

Уравнението от вида y = kx + b се нарича уравнение на права с ъглов коефициент, а коефициентът k наричаме ъглов коефициент на правата.

Пример

Имаме права, която минава през точките A(2; 8), B(8; 10). Определи уравнението ѝ с ъглов коефициент. Уравнението с ъглов коефициент най-добре се определя от общото уравнение на права, затова първо построяваме него. В общото уравнение коефициентите пред x и y са координатите на нормалния вектор, така че намираме нормалния вектор. Насочващият вектор има координати (8; 10) − (2; 8) = (6; 2), така че нормалният вектор $\overrightarrow{n}$ има координати (−2; 6). Следователно общото уравнение има вида:

$$-2x+6y+c=0$$

Вместо (x; y) заместваме в уравнението някоя точка, през която правата със сигурност минава. Например точката B(8; 10). Заместваме в уравнението x = 8, y = 10:

$$\begin{array}{rcl}-2\cdot 8+6\cdot 10+c& =& 0\\ -16+60+c& =& 0\\ c& =& -44\end{array}$$

Получаваме общото уравнение

$$-2x+6y-44=0$$

Можем да разделим това уравнение на −2 и да получим малко по-удобен вид:

$$x-3y+22=0$$

Уравнението с ъглов коефициент получаваме, като изразим y. Прехвърляме всички останали членове в дясната страна и след това умножаваме уравнението по минус едно и го разделяме на три:

$$\begin{array}{rcl}x-3y+22& =& 0\\ -3y& =& -x-22/\cdot -1\\ 3y& =& x+22/\cdot \frac{1}{3}\\ y& =& \frac{1}{3}x+\frac{22}{3}\end{array}$$

Последният ред е уравнението на правата с ъглов коефициент. Ако искаме да знаем коефициентите k, b, бихме записали $k=\frac{1}{3},b=\frac{22}{3}$. Можеш още да разгледаш графиката на правата с насочващ вектор $\overrightarrow{u}$ и нормален вектор $\overrightarrow{n}$:

Ако коефициентът b не ни беше излязъл толкова неудобен – $\frac{22}{3}$, на пръв поглед щеше да се види, че коефициентът b определя y-координатата на пресечната точка на правата с оста y. Пресечната точка с оста y има x-координата x = 0. Когато заместим това в уравнението $y=\frac{1}{3}x+\frac{22}{3}$, получаваме $y=\frac{1}{3}\cdot 0+\frac{22}{3}=\frac{22}{3}$, т.е. за x = 0 стойността на y е $y=\frac{22}{3}$.

Ъглов коефициент на права

Ако имаме уравнението на права с ъглов коефициент y = kx + b, числото k наричаме ъглов коефициент на правата. Ъгловият коефициент е свързан с ъгъла, който правата сключва с положителната полуос x. Погледни следния чертеж:

Чертежът показва четири различни прави с различни ъглови коефициенти k, но всички със същия свободен член b = 2. Всички прави са във вида y = kx + 2. Забележи, че когато плавно се променя стойността на ъгловия коефициент, т.е. числото пред неизвестното x, се променя и ъгълът, който правата сключва с положителната полуос x. Например лилавата права $y=\frac{1}{2}x+2$ сключва с полуосата ъгъл δ, червената права y = x + 2 сключва с полуосата ъгъл γ, а зелената права y = 2x + 2 сключва с полуосата ъгъл β.

В този случай колкото по-голям е ъгловият коефициент, толкова по-голям е и ъгълът, който правата сключва с полуосата. Ъгловият коефициент на лилавата права $y=\frac{1}{2}x+2$ е $k_1=\frac{1}{2}$, на зелената права y = 2x + 2 е k₂ = 2, следователно k₁ < k₂. В същото време е изпълнено δ < β. Но например ъгловият коефициент на синята права y = −2x + 2 е k₃ = −2 и е по-малък от всички предишни, а при това ъгълът α е най-големият от всички ъгли.

Виждаме, че ъгловият коефициент k има някаква връзка с ъгъла. Ще я разгледаме по-подробно. Ще покажем само лилавата права $y=\frac{1}{2}x+2$ и ще ни интересува ъгълът δ. Избираме на правата две произволни различни точки A, B и от тях построяваме правоъгълен триъгълник ABC, както е показано на чертежа. Ъглите δ и ϵ имат една и съща мярка, защото са съответни ъгли.

Ще се опитаме да изразим ъгъла ϵ с помощта на отсечките AC и BC. За да го направим, трябва да знаем дължините на тези отсечки. Нека означим координатите на точките A и B така: A = (x₁; y₁) = (2; 3) и B = (x₂; y₂) = (6; 5). Дължината на отсечката AC е равна на разликата |x₂ − x₁| = |6 − 2| = 4. Вземаме x-координатата на точката B, която съвпада с x-координатата на точката C, и от това число изваждаме x-координатата на точката A. Така получаваме дължината на отсечката AC. Същото правим и с отсечката BC, само че вземаме y-координатите. Следователно |BC| = |y₂ − y₁| = |5 − 3| = 2.

След това използваме тригонометричните функции, по-точно тангенса. В правоъгълния триъгълник ABC за ъгъла ϵ е изпълнено $\mathrm{tg}(ϵ)=\frac{|BC|}{|AC|}$. Тангенсът на ъгъла ϵ е равен на отношението на срещулежащия катет към прилежащия катет. Ако заместим отсечките с дължините им, получаваме:

$$\mathrm{tg}(ϵ)=\frac{|BC|}{|AC|}=\frac{|y_2-y_1|}{|x_2-x_1|}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

Тангенсът на ъгъла ϵ, който е същият като ъгъла δ, е равен на $\frac{1}{2}$. Тангенсът на ъгъла, който правата сключва с положителната полуос x, е $\frac{1}{2}$. При това уравнението на тази права е $y=\frac{1}{2}x+2$, т.е. тангенсът на ъгъла, който правата сключва с положителната полуос x, е равен на ъгловия коефициент на тази права! Това не е случайно и важи в общия случай:

Ако имаме права p с уравнение с ъглов коефициент y = kx + b, то ъгловият коефициент k е равен на тангенса на ъгъла, който правата p сключва с положителната полуос x.