Doğrunun Eğim Denklemi

Doğrunun eğim denklemi, doğrunun x ekseniyle yaptığı açının ölçüsünden doğar.

Motivasyon

Genel denklemi ax + by + c = 0 olan bir p doğrusu olsun. Doğrusal fonksiyonun grafiğinin tam olarak bir doğru olduğunu biliyoruz. Doğrusal fonksiyonu da genellikle y = f(x) biçiminde yazarız. O hâlde ax + by + c = 0 genel denklemini tam olarak bu biçime dönüştürmek isteyebiliriz. Bunu yapabilmek için b ≠ 0 olması gerekir, çünkü y’yi yalnız bırakmak ve bunun için tüm denklemi b’ye bölmek zorundayız. Yani b ≠ 0 ise genel denklemi şöyle düzenleyebiliriz:

$$\begin{array}{rcl}ax+by+c& =& 0/:b\\ \frac{ax}{b}+y+\frac{c}{b}& =& 0/y\text{ yalnız bırakılır}\\ y& =& -\frac{ax}{b}-\frac{c}{b}\end{array}$$

Böylece sıradan bir doğrusal fonksiyonun yazılışını elde ettik. Bu yazılış epey karmaşık olduğu için kısaltma olarak şu eşitlikleri tanımlarız:

$$\begin{array}{rcl}m& =& -\frac{a}{b}\\ n& =& -\frac{c}{b}\end{array}$$

Böylece önceki denklemi şu biçimde yazabiliriz:

$$y=mx+n$$

Bu başka bir biçim değil; çirkin görünen $-\frac{c}{b}$ kesri yerine sadece n yazdık, hepsi bu. mx + n biçimi sıradan bir doğrusal fonksiyonu anlattığı için bu biçimdeki doğru y eksenine paralel olamaz. Zaten b ≠ 0 diyerek bunu baştan dışarıda bırakmıştık.

b = 0 olsaydı doğru y eksenine paralel olurdu ve böyle bir doğrunun genel denklemi ax + c = 0 biçiminde olurdu. Bu denklemi a sayısına bölüp düzenlersek şunu buluruz:

$$\begin{array}{rcl}ax+c& =& 0/:a\\ x+\frac{c}{a}& =& 0\\ x& =& -\frac{c}{a}\end{array}$$

$-\frac{c}{a}$ kesri de çirkin olduğundan $s=-\frac{c}{a}$ kısaltmasını kullanırız ve sonunda

$$x=s$$

denklemini elde ederiz. Özetlersek, y eksenine paralel olmayan her doğru y = mx + n biçiminde yazılabilir (m, n ∈ ℝ); y eksenine paralel her doğru ise x = s biçiminde yazılabilir (s ∈ ℝ).

y = mx + n biçimindeki denkleme doğrunun eğim denklemi denir, m katsayısına da doğrunun eğimi deriz.

Örnek

A(2, 8), B(8, 10) noktalarından geçen bir doğru olsun. Doğrunun eğim denklemini bul. Eğim denklemi en kolay doğrunun genel denkleminden bulunur, o hâlde önce onu kuralım. Genel denklem ax + by + c = 0 biçimindedir ve (a, b) onun normal vektörüdür; o hâlde normal vektörü bulalım. Yön vektörünün koordinatları (8, 10) − (2, 8) = (6, 2) olur, dolayısıyla $\overrightarrow{\mathbf{n}}$ normal vektörünün koordinatları (−2, 6) olur. Genel denklemde a = −2, b = 6 yazabiliriz:

$$-2x+6y+c=0$$

Denklemde (x, y) yerine doğrunun kesinlikle geçtiği bir noktanın koordinatlarını yazarız. Örneğin B(8, 10) noktasını alalım. Yani denklemde x = 8, y = 10 yazarız:

$$\begin{array}{rcl}-2\cdot 8+6\cdot 10+c& =& 0\\ -16+60+c& =& 0\\ c& =& -44\end{array}$$

Genel denklem şöyle çıkar:

$$-2x+6y-44=0$$

Bu denklemi −2’ye bölersek biraz daha güzel bir biçim elde ederiz:

$$x-3y+22=0$$

Eğim denklemini, y’yi yalnız bırakarak buluruz. Diğer tüm terimleri sağ tarafa geçirir, sonra denklemi üçe böleriz:

$$\begin{array}{rcl}x-3y+22& =& 0\\ -3y& =& -x-22/\cdot -1\\ 3y& =& x+22/\cdot \frac{1}{3}\\ y& =& \frac{1}{3}x+\frac{22}{3}\end{array}$$

Son satır, doğruyu eğim denklemi biçiminde gösterir. m, n katsayılarını bilmek istersek $m=\frac{1}{3},n=\frac{22}{3}$ yazarız. İstersen doğrunun yön vektörü $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ ve normal vektörü $\overrightarrow{\mathbf{n}}$ ile birlikte grafiğine de bakabilirsin:

n katsayısı bu kadar elverişsiz bir $\frac{22}{3}$ çıkmasaydı, n katsayısının doğrunun y eksenini kestiği noktanın y koordinatını belirlediğini ilk bakışta görürdün. y eksenini kestiği noktanın x koordinatı x = 0’dır. Bunu $y=\frac{1}{3}x+\frac{22}{3}$ denkleminde yerine yazarsak $y=\frac{1}{3}\cdot 0+\frac{22}{3}=\frac{22}{3}$ buluruz; yani x = 0 için y değeri $y=\frac{22}{3}$ olur.

Doğrunun Eğimi

Doğrunun denklemi y = mx + n eğim denklemi biçimindeyse m sayısına doğrunun eğimi deriz. Doğrunun eğimi, doğrunun x ekseninin pozitif yönüyle yaptığı açıyla ilişkilidir. Şu şekle bak:

Şekil, eğimleri m farklı ama n = 2 katsayısı hep aynı olan dört farklı doğruyu gösteriyor. Yani tüm doğrular y = mx + 2 biçimindedir. Eğimin, yani x bilinmeyeninin önündeki sayının değeri düzgün biçimde değiştikçe, doğrunun x ekseninin pozitif yönüyle yaptığı açının da değiştiğine dikkat et. Örneğin mor $y=\frac{1}{2}x+2$ doğrusu eksenle δ açısını, kırmızı y = x + 2 doğrusu γ açısını, yeşil y = 2x + 2 doğrusu da β açısını yapar.

Bu örnekte eğim büyüdükçe doğrunun eksenle yaptığı açı da büyür. Mor $y=\frac{1}{2}x+2$ doğrusunun eğimi $m_1=\frac{1}{2}$, yeşil y = 2x + 2 doğrusunun eğimi m₂ = 2 olduğundan m₁ < m₂ olur. Aynı zamanda δ < β olur. Ama örneğin mavi y = −2x + 2 doğrusunun eğimi m₃ = −2 olduğundan öncekilerin hepsinden küçüktür; buna rağmen α açısı tüm açılar içinde en büyüğüdür.

Eğim m ile açı arasında bir ilişki olduğunu görüyoruz. Bunu daha yakından inceleyelim. Yalnızca mor $y=\frac{1}{2}x+2$ doğrusunu çizelim; δ açısıyla ilgileneceğiz. Doğru üzerinde istediğimiz iki farklı A, B noktasını seçelim ve şekilde gösterildiği gibi bunlardan ABC dik üçgenini oluşturalım. δ ve ϵ açılarının ölçüsü eşittir, çünkü bunlar yöndeş açılardır.

Şimdi ϵ açısını AC ve BC doğru parçalarıyla ifade etmeye çalışacağız. Bunu yapabilmek için bu doğru parçalarının uzunluklarını bilmemiz gerekir. A ve B noktalarının koordinatlarını şöyle gösterelim: A = (x₁, y₁) = (2, 3) ve B = (x₂, y₂) = (6, 5). AC doğru parçasının uzunluğu |x₂ − x₁| = |6 − 2| = 4 farkına eşittir. C noktasının x koordinatıyla aynı olan B noktasının x koordinatını alıp bu sayıdan A noktasının x koordinatını çıkarırız. Böylece AC doğru parçasının uzunluğunu elde ederiz. Aynısını BC doğru parçası için de yaparız, yalnızca y koordinatlarını alırız. Yani |BC| = |y₂ − y₁| = |5 − 3| = 2 olur.

Sonra trigonometrik fonksiyonları, özellikle de tanjantı kullanırız. ABC dik üçgeninde ϵ açısı için $\tan (ϵ)=\frac{|BC|}{|AC|}$ olur. ϵ açısının tanjantı, karşı dik kenarın komşu dik kenara oranına eşittir. Doğru parçaları yerine uzunluklarını yazarsak şunu elde ederiz:

$$\tan (ϵ)=\frac{|BC|}{|AC|}=\frac{|y_2-y_1|}{|x_2-x_1|}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

δ açısına eşit olan ϵ açısının tanjantı bize $\frac{1}{2}$ çıktı. Yani doğrunun x ekseninin pozitif yönüyle yaptığı açının tanjantı $\frac{1}{2}$’dir. Bu doğrunun denklemi ise $y=\frac{1}{2}x+2$’dir; yani doğrunun x ekseninin pozitif yönüyle yaptığı açının tanjantı, bu doğrunun eğimine eşittir! Bu bir tesadüf değil, genel olarak da geçerlidir:

Eğim denklemi y = mx + n olan bir p doğrusu için m eğimi, p doğrusunun x ekseninin pozitif yönüyle yaptığı açının tanjantına eşittir.