サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの性質

サインとコサインは、基本的な三角関数です。

サイン

角アルファのサインは、直角三角形の対辺の長さと斜辺の長さの比に等しくなります。

$$\sin (\alpha )=\frac{\text{対辺の長さ}}{\text{斜辺の長さ}}$$

サインのグラフは、正弦曲線と呼ばれる曲線です。次の図でグラフを見てみましょう。

サインは周期関数で、最小の周期は 2π です。そのほかの性質は次のとおりです。

• 定義域は実数全体の集合です。
• 値域は区間 [−1, 1] です。
• サインは無数の点で最大値をとります。正確には、「最初の」最大値は $x=\frac{\pi }{2}$ でとります。周期関数なので、k を整数として、すべての点 $\frac{\pi }{2}+2k\pi$ でも最大値をとります。最大値は1です。
• 最小値も同じように考えます。サインは、k を整数として、点 $-\frac{\pi }{2}+2k\pi$ で最小値をとり、その値は −1 です。
• サインは奇関数で、有界な関数です。

コサイン

角αのコサインは、直角三角形の隣辺の長さと斜辺の長さの比に等しくなります。つまり、電卓で角αのコサインを計算すると、次の商の値が得られます。

$$\cos (\alpha )=\frac{\text{隣辺の長さ}}{\text{斜辺の長さ}}.$$

コサインのグラフは、余弦曲線と呼ばれる曲線です。次の図でグラフを見てみましょう。

コサインは周期関数で、最小の周期は 2π です。そのほかの性質は次のとおりです。

• 定義域は実数全体の集合です。
• 値域は区間 [−1, 1] です。
• コサインは無数の点で最大値をとります。正確には、「最初の」最大値は x = 0 でとります。周期関数なので、k を整数として、すべての点 2kπ でも最大値をとります。最大値は1です。
• 最小値も同じように考えます。コサインは、k を整数として、点 π + 2kπ で最小値をとり、その値は −1 です。
• コサインは偶関数で、有界な関数です。

タンジェント

角αのタンジェントは、直角三角形の対辺の長さと隣辺の長さの比に等しくなります。タンジェントは tan と書きます（tg と書く国もあります）。

$$\tan (\alpha )=\frac{\text{対辺の長さ}}{\text{隣辺の長さ}}$$

この関数のグラフは、正接曲線と呼ばれる次のような曲線です。

タンジェントがこれまでの関数とおもにちがうのは周期で、2π ではなく π です。そのほかの性質は次のとおりです。

• 定義域は次の集合です。

$$D(tan)=\mathbb{R}-\{\frac{\pi }{2}+k\pi \}k\in \mathbb{Z}$$

• 値域は実数全体の集合です。
• タンジェントには最大値も最小値もなく、有界ではありません。
• タンジェントは奇関数です。

コタンジェント

角αのコタンジェントは、隣辺の長さと対辺の長さの比に等しくなります。コタンジェントはふつう cot や cotan と書きます。日本の高校ではコタンジェントは使わず、タンジェントの逆数として表します。

$$\cot (\alpha )=\frac{\text{隣辺の長さ}}{\text{対辺の長さ}}$$

この関数のグラフは、次のような曲線です。

そのほかの性質は次のとおりです。

• 周期は、タンジェントと同じく π です。
• 定義域は次の集合です。

$$D(cot)=\mathbb{R}-\left\{k\pi \right\};k\in \mathbb{Z}$$

• 値域は実数全体の集合です。
• コタンジェントには最大値も最小値もなく、有界ではありません。
• コタンジェントは奇関数です。

サインとコサインの関係

三角関数どうしには、深い関係があります。サインとコサインのグラフをいっしょに見ると、あまりちがわず、一方は他方を少しずらしただけだとわかります。

実際、サインの変数に π/2 をたすと、コサインになります。

逆に、コサインの変数から π/2 を引くと、サインになります。

つまり、次の公式が成り立ちます。

$$\begin{array}{rcl}\sin (x)& =& \cos (x-\frac{\pi }{2})\\ \cos (x)& =& \sin (x+\frac{\pi }{2})\end{array}$$

タンジェントとコタンジェントの表し方

タンジェントは、サインとコサインを使って簡単に表せます。タンジェントとは何だったかを思い出せば十分です。対辺の長さと隣辺の長さの比でした。次の三角形で考えてみましょう。

角βのタンジェントはいくつでしょうか。

$$\tan (\beta )=\frac{|b|}{|c|}.$$

分子や分母を、どうすれば別の形で表せるでしょうか。辺 b の長さと辺 c の長さは何に等しいでしょうか。角βのサインは次のとおりです。

$$\sin (\beta )=\frac{|b|}{|a|}$$

この式を |b| について解きます。

$$|b|=\sin (\beta )\cdot |a|$$

角βのコサインは次のとおりです。

$$\cos (\beta )=\frac{|c|}{|a|}$$

|c| について解きます。

$$|c|=\cos (\beta )\cdot |a|$$

これで、辺 b と c の長さをサインとコサインで表せました。この途中の結果を、タンジェントのもとの式に代入します。

$$\tan (\beta )=\frac{|b|}{|c|}=\frac{\sin (\beta )\cdot |a|}{\cos (\beta )\cdot |a|}$$

分子と分母の |a| を約分すると、最終的な公式が得られます。

$$\tan (\beta )=\frac{\sin (\beta )}{\cos (\beta )}$$

したがって、タンジェントはサインとコサインの商で表せます。導き方は省略しますが、コタンジェントは分子と分母を入れかえた分数、つまりコサインをサインで割ったもので表せます。

$$\begin{array}{rcl}\tan (\alpha )& =& \frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}\\ \cot (\alpha )& =& \frac{\cos (\alpha )}{\sin (\alpha )}\end{array}$$

タンジェントとコタンジェントの関係

サインとコサインが似ているのと同じように、タンジェントとコタンジェントも似ています。2つのグラフを1つの図で見てみましょう。

タンジェントの曲線から、どうすればコタンジェントの曲線が得られるでしょうか。コタンジェントは π/2 だけずれているので、まずそこから始めます。

コタンジェントに近づきましたが、曲線の向きがまだちがいます。コタンジェントはそれぞれの区間で減少しますが、この平行移動した曲線は増加しています。そこで、変数 x の符号を変えます。

したがって、次のように書けます。

$$\cot (x)=\tan (-x+\frac{\pi }{2})$$

よく使う角の値

サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントは、いくつかのきりのよい角で、きれいな値になります。基本的なものを表にまとめます。

$$\begin{array}{ccccc}& \sin & \cos & \tan & \cot \\ 0^{\circ }& 0& 1& 0& \times \\ {30}^{\circ }& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{3}& \sqrt{3}\\ {45}^{\circ }& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& 1& 1\\ {60}^{\circ }& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}& \sqrt{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ {90}^{\circ }& 1& 0& \times & 0\end{array}$$