Linjens ekvation på k-form

Linjens ekvation på k-form utgår från storleken på den vinkel som linjen bildar med x-axeln.

Motivation

Vi har en linje p med ekvationen på allmän form ax + by + c = 0. Vi vet att grafen till en linjär funktion är just en rät linje. Den linjära funktionen skriver vi vanligen på formen y = f(x). Vi skulle därför vilja skriva om ekvationen ax + by + c = 0 på just den formen. För att klara det måste b ≠ 0, eftersom vi måste lösa ut y ur ekvationen och alltså dividera hela ekvationen med b. Om b ≠ 0 kan vi omforma ekvationen på allmän form så här:

$$\begin{array}{rcl}ax+by+c& =& 0/:b\\ \frac{ax}{b}+y+\frac{c}{b}& =& 0/\text{ lös ut }y\\ y& =& -\frac{ax}{b}-\frac{c}{b}\end{array}$$

Därmed har vi fått skrivsättet för en vanlig linjär funktion. Eftersom det är ganska krångligt inför vi nya beteckningar och sätter

$$\begin{array}{rcl}k& =& -\frac{a}{b}\\ m& =& -\frac{c}{b}\end{array}$$

och då kan vi skriva den förra ekvationen på formen:

$$y=kx+m$$

Det är ingen annan form, vi har bara skrivit m i stället för det fula bråket $-\frac{c}{b}$, det är hela hemligheten. Eftersom kx + m beskriver en vanlig linjär funktion kan en linje på den här formen inte vara parallell med y-axeln. Det har vi för övrigt redan uteslutit genom att kräva att b ≠ 0.

Om det i stället gällde att b = 0, skulle linjen vara parallell med y-axeln och ekvationen för en sådan linje skulle ha formen ax + c = 0. Om vi dividerar den ekvationen med talet a och förenklar får vi:

$$\begin{array}{rcl}ax+c& =& 0/:a\\ x+\frac{c}{a}& =& 0\\ x& =& -\frac{c}{a}\end{array}$$

Eftersom bråket $-\frac{c}{a}$ är fult även här, inför vi beteckningen $d=-\frac{c}{a}$, så att vi till sist får ekvationen

$$x=d$$

Sammanfattningsvis kan varje linje som inte är parallell med y-axeln skrivas på formen y = kx + m, där k, m ∈ ℝ, och varje linje som är parallell med y-axeln kan skrivas på formen x = d, där d ∈ ℝ.

Ekvationen y = kx + m kallas linjens ekvation på k-form, och koefficienten k kallar vi linjens riktningskoefficient eller lutning.

Exempel

Vi har en linje som går genom punkterna A(2, 8), B(8, 10). Bestäm linjens ekvation på k-form. Ekvationen på k-form bestämmer vi enklast ur linjens ekvation på allmän form, så först ställer vi upp den. Ekvationen på allmän form har formen ax + by + c = 0, där (a, b) är normalvektorn, så vi bestämmer normalvektorn. Riktningsvektorn har koordinaterna (8, 10) − (2, 8) = (6, 2), så normalvektorn $\overrightarrow{\mathbf{n}}$ har koordinaterna (−2, 6). I ekvationen på allmän form kan vi alltså sätta in a = −2, b = 6:

$$-2x+6y+c=0$$

För (x, y) sätter vi in en punkt som linjen säkert går genom, till exempel punkten B(8, 10). Vi sätter alltså in x = 8, y = 10 i ekvationen:

$$\begin{array}{rcl}-2\cdot 8+6\cdot 10+c& =& 0\\ -16+60+c& =& 0\\ c& =& -44\end{array}$$

Vi får ekvationen

$$-2x+6y-44=0$$

Vi dividerar ekvationen med −2 och får en lite snyggare form:

$$x-3y+22=0$$

Ekvationen på k-form får vi genom att lösa ut y. Vi flyttar över alla andra termer till högerledet och dividerar sedan ekvationen med tre:

$$\begin{array}{rcl}x-3y+22& =& 0\\ -3y& =& -x-22/\cdot -1\\ 3y& =& x+22/\cdot \frac{1}{3}\\ y& =& \frac{1}{3}x+\frac{22}{3}\end{array}$$

Den sista raden är linjen på k-form. Om vi vill ange koefficienterna k, m skriver vi $k=\frac{1}{3},m=\frac{22}{3}$. Du kan också titta på linjens graf med riktningsvektorn $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ och normalvektorn $\overrightarrow{\mathbf{n}}$:

Om koefficienten m inte hade blivit så otympligt $\frac{22}{3}$ skulle du direkt kunna se att koefficienten m anger y-koordinaten för linjens skärning med y-axeln. Skärningspunkten med y-axeln har x-koordinaten x = 0. Om vi sätter in det i ekvationen $y=\frac{1}{3}x+\frac{22}{3}$ får vi $y=\frac{1}{3}\cdot 0+\frac{22}{3}=\frac{22}{3}$, alltså har y värdet $y=\frac{22}{3}$ för x = 0.

Linjens lutning

Om vi har linjens ekvation på k-form y = kx + m, kallar vi talet k linjens lutning. Lutningen har ett samband med den vinkel som linjen bildar med den positiva x-axeln. Titta på följande figur:

Figuren visar fyra olika linjer med olika lutningar k, men alltid med samma koefficient m = 2. Alla linjer har alltså formen y = kx + 2. Lägg märke till att när värdet på lutningen, det vill säga talet framför den obekanta x, ändras gradvis, så ändras också vinkeln som linjen bildar med den positiva x-axeln. Till exempel bildar den lila linjen $y=\frac{1}{2}x+2$ vinkeln δ med axeln, den röda linjen y = x + 2 bildar vinkeln γ och den gröna linjen y = 2x + 2 bildar vinkeln β.

I det här fallet gäller att ju större lutningen är, desto större är också vinkeln som linjen bildar med axeln. Lutningen för den lila linjen $y=\frac{1}{2}x+2$ är $k_1=\frac{1}{2}$, lutningen för den gröna linjen y = 2x + 2 är k₂ = 2, så det gäller att k₁ < k₂. Samtidigt gäller δ < β. Men till exempel lutningen för den blå linjen y = −2x + 2 är k₃ = −2, alltså mindre än alla de föregående, och ändå är vinkeln α den största av alla vinklar.

Vi ser att lutningen k har något samband med vinkeln. Vi undersöker det närmare. Vi visar bara den lila linjen $y=\frac{1}{2}x+2$ och intresserar oss för vinkeln δ. På linjen väljer vi två godtyckliga olika punkter A, B och bildar av dem en rätvinklig triangel ABC, som figuren visar. Vinklarna δ och ϵ är lika stora, eftersom de är likbelägna vinklar.

Nu ska vi försöka uttrycka vinkeln ϵ med hjälp av sträckorna AC och BC. För att kunna göra det måste vi känna längderna av sträckorna. Vi betecknar koordinaterna för punkterna A och B så här: A = (x₁, y₁) = (2, 3) och B = (x₂, y₂) = (6, 5). Längden av sträckan AC är då lika med skillnaden |x₂ − x₁| = |6 − 2| = 4. Vi tar x-koordinaten för punkten B, som är lika med x-koordinaten för punkten C, och subtraherar x-koordinaten för punkten A. Då får vi längden av sträckan AC. Samma sak gör vi med sträckan BC, men med y-koordinaterna. Alltså gäller |BC| = |y₂ − y₁| = |5 − 3| = 2.

Sedan använder vi trigonometriska funktioner, närmare bestämt tangens. I den rätvinkliga triangeln ABC gäller för vinkeln ϵ att $\tan (ϵ)=\frac{|BC|}{|AC|}$. Tangens för vinkeln ϵ är lika med förhållandet mellan motstående och närliggande katet. Om vi sätter in längderna av sträckorna får vi:

$$\tan (ϵ)=\frac{|BC|}{|AC|}=\frac{|y_2-y_1|}{|x_2-x_1|}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

Tangens för vinkeln ϵ, som är lika stor som vinkeln δ, blev alltså $\frac{1}{2}$. Tangens för den vinkel som linjen bildar med den positiva x-axeln är $\frac{1}{2}$. Samtidigt är ekvationen för den här linjen $y=\frac{1}{2}x+2$, så tangens för den vinkel som linjen bildar med den positiva x-axeln är lika med linjens lutning! Det är ingen slump, utan gäller allmänt:

Om en linje p har ekvationen på k-form y = kx + m, så är lutningen k lika med tangens för den vinkel som linjen p bildar med den positiva x-axeln.