Richtingscoëfficiënt van een lijn

De vergelijking van een lijn in de vorm y = ax + b hangt samen met de grootte van de hoek die de lijn met de x-as maakt.

Motivatie

We hebben een lijn p met de algemene vergelijking cx + dy = e. (In dit artikel gebruiken we voor de algemene vergelijking de letters c, d en e, omdat a en b zo meteen de richtingscoëfficiënt en het startgetal worden.) We weten dat de grafiek van een lineaire functie precies een lijn is. Een lineaire functie schrijven we gewoonlijk in de vorm y = f(x). We zouden dus de algemene vergelijking cx + dy = e naar precies deze vorm willen omzetten. Daarvoor moet gelden d ≠ 0, want we moeten y vrijmaken en dus de hele vergelijking door d delen. Als d ≠ 0, kunnen we de algemene vergelijking zo omwerken:

$$\begin{array}{rcl}cx+dy& =& e/:d\\ \frac{cx}{d}+y& =& \frac{e}{d}/\text{ we maken }y\text{ vrij}\\ y& =& -\frac{c}{d}x+\frac{e}{d}\end{array}$$

Zo hebben we de schrijfwijze van een gewone lineaire functie gekregen. Omdat deze schrijfwijze nogal ingewikkeld is, voeren we een vervanging in en stellen

$$\begin{array}{rcl}a& =& -\frac{c}{d}\\ b& =& \frac{e}{d}\end{array}$$

en dan kunnen we de vorige vergelijking schrijven in de vorm:

$$y=ax+b$$

Het is geen andere vorm, we hebben alleen in plaats van de lelijke breuk $\frac{e}{d}$ de letter b geschreven, dat is alles. Omdat de vorm ax + b een gewone lineaire functie beschrijft, kan een lijn in deze vorm niet evenwijdig zijn aan de y-as. Dat hebben we trouwens al uitgesloten door te zeggen dat d ≠ 0.

Als d = 0, dan zou de lijn evenwijdig zijn aan de y-as en zou de algemene vergelijking van zo'n lijn de vorm cx = e hebben. Als we deze vergelijking door het getal c delen en omwerken, krijgen we:

$$\begin{array}{rcl}cx& =& e/:c\\ x& =& \frac{e}{c}\end{array}$$

Omdat de breuk $\frac{e}{c}$ weer lelijk is, voeren we de substitutie $k=\frac{e}{c}$ in, zodat we uiteindelijk de vergelijking

$$x=k$$

krijgen. Samengevat: elke lijn die niet evenwijdig is aan de y-as kunnen we schrijven in de vorm y = ax + b, waarbij a, b ∈ ℝ, en elke lijn die evenwijdig is aan de y-as kunnen we schrijven in de vorm x = k, waarbij k ∈ ℝ.

De vergelijking in de vorm y = ax + b noemen we de vergelijking van een lijn met richtingscoëfficiënt, en de coëfficiënt a noemen we de richtingscoëfficiënt van de lijn. De coëfficiënt b is het startgetal.

Voorbeeld

We hebben een lijn die door de punten A(2, 8), B(8, 10) gaat. Bepaal de vergelijking van de lijn in de vorm y = ax + b. Dat doe je het best vanuit de algemene vergelijking van de lijn, dus eerst stellen we die op. De algemene vergelijking heeft de vorm cx + dy = e, waarbij $\left(\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right)$ de normaalvector is, dus we bepalen de normaalvector. De richtingsvector heeft de coördinaten $(8,10)-(2,8)=\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)$, dus de normaalvector $\overrightarrow{n}$ heeft de coördinaten $\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\end{array}\right)$. In de algemene vergelijking kunnen we dus c = −2, d = 6 invullen:

$$-2x+6y=e$$

Voor de coördinaten (x, y) vullen we in de vergelijking een punt in waar de lijn zeker door gaat. Bijvoorbeeld het punt B(8, 10). We vullen dus in de vergelijking x = 8, y = 10 in:

$$\begin{array}{rcl}-2\cdot 8+6\cdot 10& =& e\\ -16+60& =& e\\ e& =& 44\end{array}$$

We krijgen de algemene vergelijking

$$-2x+6y=44$$

Deze vergelijking kunnen we door 2 delen, dan krijgen we een iets mooiere vorm:

$$-x+3y=22$$

De vorm met richtingscoëfficiënt vinden we door y vrij te maken. We brengen alle andere termen naar de rechterkant en delen de vergelijking daarna door drie:

$$\begin{array}{rcl}-x+3y& =& 22\\ 3y& =& x+22/\cdot \frac{1}{3}\\ y& =& \frac{1}{3}x+\frac{22}{3}\end{array}$$

De laatste regel stelt de lijn voor in de vorm met richtingscoëfficiënt. Als we de coëfficiënten a, b willen weten, schrijven we $a=\frac{1}{3},b=\frac{22}{3}$ op. Je kunt nog de grafiek van de lijn bekijken, met de richtingsvector $\overrightarrow{u}$ en de normaalvector $\overrightarrow{n}$:

Als het startgetal niet zo onhandig $\frac{22}{3}$ was uitgekomen, zou je meteen zien dat het startgetal b de y-coördinaat van het snijpunt van de lijn met de y-as bepaalt. Het snijpunt met de y-as heeft x-coördinaat x = 0. Als we dit invullen in de vergelijking $y=\frac{1}{3}x+\frac{22}{3}$, krijgen we $y=\frac{1}{3}\cdot 0+\frac{22}{3}=\frac{22}{3}$, dus voor x = 0 is $y=\frac{22}{3}$.

Richtingscoëfficiënt van een lijn

Als we de vergelijking van een lijn in de vorm y = ax + b hebben, noemen we het getal a de richtingscoëfficiënt van de lijn. De richtingscoëfficiënt hangt samen met de hoek die de lijn maakt met de positieve x-as. Kijk naar de volgende tekening:

De tekening toont vier verschillende lijnen met verschillende richtingscoëfficiënten a, maar steeds met hetzelfde startgetal b = 2. Alle lijnen hebben dus de vorm y = ax + 2. Let op dat als de waarde van de richtingscoëfficiënt, dus het getal voor de onbekende x, geleidelijk verandert, ook de hoek verandert die de lijn met de positieve x-as maakt. Bijvoorbeeld: de paarse lijn $y=\frac{1}{2}x+2$ maakt met de as de hoek δ, de rode lijn y = x + 2 maakt de hoek γ en de groene lijn y = 2x + 2 maakt de hoek β.

In dit geval geldt dat hoe groter de richtingscoëfficiënt is, hoe groter ook de hoek is die de lijn met de as maakt. De richtingscoëfficiënt van de paarse lijn $y=\frac{1}{2}x+2$ is $a_1=\frac{1}{2}$, de richtingscoëfficiënt van de groene lijn y = 2x + 2 is a₂ = 2, dus er geldt a₁ < a₂. Tegelijk geldt δ < β. Maar de richtingscoëfficiënt van de blauwe lijn y = −2x + 2 is bijvoorbeeld a₃ = −2, dus kleiner dan alle voorgaande, en toch is de hoek α de grootste van alle hoeken.

We zien dat de richtingscoëfficiënt a een verband heeft met de hoek. We onderzoeken dat nader. We tekenen alleen de paarse lijn $y=\frac{1}{2}x+2$ en we zijn geïnteresseerd in de hoek δ. We kiezen op de lijn twee willekeurige verschillende punten A, B en maken daarmee een rechthoekige driehoek ABC, zoals in de tekening is aangegeven. Er geldt dat de hoeken δ en ϵ even groot zijn, omdat het F-hoeken zijn.

We proberen nu de hoek ϵ uit te drukken met behulp van de lijnstukken AC en BC. Daarvoor moeten we de lengten van deze lijnstukken kennen. We noteren de coördinaten van de punten A en B zo: A = (x₁, y₁) = (2, 3) en B = (x₂, y₂) = (6, 5). De lengte van lijnstuk AC is dan gelijk aan het verschil |x₂ − x₁| = |6 − 2| = 4. We nemen de x-coördinaat van punt B, die gelijk is aan de x-coördinaat van punt C, en trekken daarvan de x-coördinaat van punt A af. Zo krijgen we de lengte van lijnstuk AC. Hetzelfde doen we met lijnstuk BC, alleen nemen we de y-coördinaten. Er geldt dus |BC| = |y₂ − y₁| = |5 − 3| = 2.

Verder gebruiken we de goniometrische functies, namelijk de tangens. In de rechthoekige driehoek ABC geldt voor de hoek ϵ: $\tan (ϵ)=\frac{|BC|}{|AC|}$. De tangens van de hoek ϵ is gelijk aan de verhouding van de overstaande rechthoekszijde tot de aanliggende rechthoekszijde. Als we voor de lijnstukken hun lengten invullen, krijgen we:

$$\tan (ϵ)=\frac{|BC|}{|AC|}=\frac{|y_2-y_1|}{|x_2-x_1|}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

De tangens van de hoek ϵ, die even groot is als de hoek δ, is dus $\frac{1}{2}$. De tangens van de hoek die de lijn met de positieve x-as maakt is $\frac{1}{2}$. En de vergelijking van deze lijn is $y=\frac{1}{2}x+2$, dus de tangens van de hoek die de lijn met de positieve x-as maakt is gelijk aan de richtingscoëfficiënt van deze lijn! Dat is geen toeval en het geldt in het algemeen:

Als we een lijn p hebben met de vergelijking y = ax + b, dan is de richtingscoëfficiënt a gelijk aan de tangens van de hoek die lijn p met de positieve x-as maakt.