Équation réduite de la droite

La forme réduite d’une droite découle de la mesure de l’angle que forme la droite avec l’axe des abscisses.

Motivation

Considérons une droite d d’équation cartésienne ax + by + c = 0. Nous savons que le graphe d’une fonction affine est précisément une droite. Or on écrit habituellement une fonction affine sous la forme y = f(x). On pourrait donc vouloir transformer l’équation cartésienne ax + by + c = 0 en cette forme. Pour y parvenir, il faut que b ≠ 0, car il faut isoler y et donc diviser toute l’équation par b. Si b ≠ 0, on peut transformer l’équation cartésienne ainsi :

$$\begin{array}{rcl}ax+by+c& =& 0/:b\\ \frac{ax}{b}+y+\frac{c}{b}& =& 0/\text{ on isole }y\\ y& =& -\frac{ax}{b}-\frac{c}{b}\end{array}$$

Nous avons ainsi obtenu l’écriture d’une fonction affine courante. Cette écriture étant assez compliquée, nous posons les égalités suivantes :

$$\begin{array}{rcl}m& =& -\frac{a}{b}\\ p& =& -\frac{c}{b}\end{array}$$

on peut alors écrire l’équation précédente sous la forme :

$$y=mx+p$$

Ce n’est pas une autre forme : on a simplement écrit p à la place de la fraction peu esthétique $-\frac{c}{b}$, et c’est tout. Comme la forme mx + p décrit une fonction affine courante, une droite écrite sous cette forme ne peut pas être parallèle à l’axe des ordonnées. C’est d’ailleurs ce que nous avons exclu en supposant b ≠ 0.

Si b = 0, la droite serait parallèle à l’axe des ordonnées et son équation cartésienne serait de la forme ax + c = 0. En divisant cette équation par le nombre a et en la simplifiant, on obtient :

$$\begin{array}{rcl}ax+c& =& 0/:a\\ x+\frac{c}{a}& =& 0\\ x& =& -\frac{c}{a}\end{array}$$

Comme la fraction $-\frac{c}{a}$ est elle aussi peu esthétique, nous introduisons la substitution $x_0=-\frac{c}{a}$ ; on obtient finalement l’équation

$$x=x_0$$

En résumé, toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées peut s’écrire y = mx + p, où m, p ∈ ℝ, et toute droite parallèle à l’axe des ordonnées peut s’écrire x = x₀, où x₀ ∈ ℝ.

L’équation de la forme y = mx + p s’appelle alors l’équation réduite de la droite, et le coefficient m est appelé coefficient directeur de la droite.

Exemple

On considère la droite qui passe par les points A(2 ; 8), B(8 ; 10). Détermine son équation réduite. L’équation réduite se détermine le plus facilement à partir de l’équation cartésienne de la droite, donc nous la construisons d’abord. L’équation cartésienne a la forme ax + by + c = 0, où $\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$ est un vecteur normal ; nous cherchons donc un vecteur normal. Un vecteur directeur a pour coordonnées (8 ; 10) − (2 ; 8) = (6 ; 2), donc le vecteur normal $\overrightarrow{\mathbf{n}}$ a pour coordonnées (−2 ; 6). On peut donc substituer a = −2, b = 6 dans l’équation :

$$-2x+6y+c=0$$

On remplace (x ; y) dans l’équation par les coordonnées d’un point qui se trouve certainement sur la droite, par exemple le point B(8 ; 10). On substitue donc x = 8, y = 10 dans l’équation :

$$\begin{array}{rcl}-2\cdot 8+6\cdot 10+c& =& 0\\ -16+60+c& =& 0\\ c& =& -44\end{array}$$

On obtient l’équation cartésienne

$$-2x+6y-44=0$$

On peut diviser cette équation par −2 pour obtenir une écriture un peu plus agréable :

$$x-3y+22=0$$

On obtient la forme réduite en isolant y. On fait passer tous les autres termes dans le membre de droite, puis on divise l’équation par trois :

$$\begin{array}{rcl}x-3y+22& =& 0\\ -3y& =& -x-22/\cdot -1\\ 3y& =& x+22/\cdot \frac{1}{3}\\ y& =& \frac{1}{3}x+\frac{22}{3}\end{array}$$

La dernière ligne représente la droite sous sa forme réduite. Si l’on veut connaître les coefficients m, p, on note $m=\frac{1}{3},p=\frac{22}{3}$. Tu peux encore observer le graphe de la droite, avec son vecteur directeur $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ et son vecteur normal $\overrightarrow{\mathbf{n}}$ :

Si le coefficient p n’était pas tombé sur une fraction aussi peu commode que $\frac{22}{3}$, tu verrais tout de suite que p donne l’ordonnée du point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées. Ce point a pour abscisse x = 0. Si l’on remplace x par 0 dans l’équation $y=\frac{1}{3}x+\frac{22}{3}$, on obtient $y=\frac{1}{3}\cdot 0+\frac{22}{3}=\frac{22}{3}$ ; ainsi, pour x = 0, on a $y=\frac{22}{3}$.

Coefficient directeur de la droite

Si la droite a pour équation réduite y = mx + p, le nombre m est appelé coefficient directeur de la droite. Le coefficient directeur est lié à l’angle que forme la droite avec le demi-axe des abscisses positives. Regarde l’image suivante :

L’image montre quatre droites différentes, de coefficients directeurs m différents, mais toujours avec le même p = 2. Toutes les droites ont donc la forme y = mx + 2. Remarque que, lorsque la valeur du coefficient directeur, c’est-à-dire le nombre devant l’inconnue x, varie de façon continue, l’angle que forme la droite avec le demi-axe des abscisses positives varie aussi. Par exemple, la droite violette $y=\frac{1}{2}x+2$ forme avec ce demi-axe l’angle δ, la droite rouge y = x + 2 forme l’angle γ et la droite verte y = 2x + 2 forme l’angle β.

Dans ce cas, plus le coefficient directeur est grand, plus l’angle que forme la droite avec le demi-axe est grand. Le coefficient directeur de la droite violette $y=\frac{1}{2}x+2$ est $m_1=\frac{1}{2}$, celui de la droite verte y = 2x + 2 est m₂ = 2, donc m₁ < m₂. De plus, δ < β. Mais le coefficient directeur de la droite bleue y = −2x + 2 est m₃ = −2 ; il est donc plus petit que tous les précédents, alors que l’angle α est le plus grand de tous.

On voit que le coefficient directeur m est lié à l’angle d’une certaine façon. Examinons ce lien de plus près. Considérons seulement la droite violette $y=\frac{1}{2}x+2$ et intéressons-nous à l’angle δ. Choisissons sur la droite deux points distincts quelconques A, B et construisons à partir d’eux un triangle rectangle ABC, comme le montre la figure. Les angles δ et ϵ ont alors la même mesure, car ce sont des angles correspondants.

Nous allons maintenant exprimer l’angle ϵ à l’aide des segments AC et BC. Pour cela, nous devons connaître la longueur de ces segments. Notons les coordonnées des points A et B ainsi : A = (x₁ ; y₁) = (2 ; 3) et B = (x₂ ; y₂) = (6 ; 5). La longueur du segment AC est alors égale à la différence |x₂ − x₁| = |6 − 2| = 4. On prend l’abscisse du point B, qui est la même que celle du point C, et on lui soustrait l’abscisse du point A ; on obtient ainsi la longueur du segment AC. On fait de même pour le segment BC, mais avec les ordonnées. On a donc |BC| = |y₂ − y₁| = |5 − 3| = 2.

Ensuite, nous utilisons les fonctions trigonométriques, plus précisément la tangente. Dans le triangle rectangle ABC, on a pour l’angle ϵ : $\tan (ϵ)=\frac{|BC|}{|AC|}$. La tangente de l’angle ϵ est égale au rapport du côté opposé sur le côté adjacent. En remplaçant les segments par leurs longueurs, on obtient :

$$\tan (ϵ)=\frac{|BC|}{|AC|}=\frac{|y_2-y_1|}{|x_2-x_1|}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

La tangente de l’angle ϵ, égal à l’angle δ, vaut donc $\frac{1}{2}$. La tangente de l’angle que forme la droite avec le demi-axe des abscisses positives vaut donc $\frac{1}{2}$. Or l’équation de cette droite est $y=\frac{1}{2}x+2$ : la tangente de cet angle est donc exactement égale au coefficient directeur de la droite ! Ce n’est pas un hasard, et cela reste vrai dans le cas général :

Si la droite d a pour équation réduite y = mx + p, alors le coefficient directeur m est égal à la tangente de l’angle que forme la droite d avec le demi-axe des abscisses positives.