Linjens likning y = ax + b

Når vi skriver likningen for en linje med stigningstallet, tar vi utgangspunkt i størrelsen på vinkelen som linjen danner med x-aksen.

Motivasjon

Vi har en linje p med den generelle likningen a₁x + b₁y + c₁ = 0. Vi vet at grafen til en lineær funksjon nettopp er en linje. Samtidig skriver vi vanligvis en lineær funksjon på formen y = f(x). Vi kunne derfor ha lyst til å skrive om likningen a₁x + b₁y + c₁ = 0 til akkurat denne formen. For å få til det må b₁ ≠ 0, fordi vi må isolere y i likningen og dermed dele hele likningen på b₁. Hvis b₁ ≠ 0, kan vi forme om likningen slik:

$$\begin{array}{rcl}{a}_{1}x+b_{1}y+c_1& =& 0/:b_1\\ \frac{a_{1}x}{b_1}+y+\frac{c_1}{b_1}& =& 0/\text{ isolerer }y\\ y& =& -\frac{a_{1}x}{b_1}-\frac{c_1}{b_1}\end{array}$$

Dermed har vi fått skrivemåten for en vanlig lineær funksjon. Siden denne skrivemåten er ganske tungvint, innfører vi nye betegnelser og setter

$$\begin{array}{rcl}a& =& -\frac{a_1}{b_1}\\ b& =& -\frac{c_1}{b_1}\end{array}$$

og da kan vi skrive den forrige likningen på formen:

$$y=ax+b$$

Dette er ingen annen form, vi har bare skrevet b i stedet for den stygge brøken $-\frac{c_1}{b_1}$, det er alt. Siden ax + b beskriver en vanlig lineær funksjon, kan ikke en linje på denne formen være parallell med y-aksen. Det har vi forresten allerede utelukket ved å si at b₁ ≠ 0.

Hvis b₁ = 0, ville linjen vært parallell med y-aksen, og likningen for en slik linje ville hatt formen a₁x + c₁ = 0. Hvis vi deler denne likningen på tallet a₁ og former om, får vi:

$$\begin{array}{rcl}{a}_{1}x+c_1& =& 0/:a_1\\ x+\frac{c_1}{a_1}& =& 0\\ x& =& -\frac{c_1}{a_1}\end{array}$$

Siden brøken $-\frac{c_1}{a_1}$ igjen er stygg, innfører vi substitusjonen $m=-\frac{c_1}{a_1}$, og til slutt får vi likningen

$$x=m$$

For å oppsummere: hver linje som ikke er parallell med y-aksen, kan vi skrive på formen y = ax + b, der a, b ∈ ℝ, og hver linje som er parallell med y-aksen, kan vi skrive på formen x = m, der m ∈ ℝ.

Når likningen for en linje er skrevet på formen y = ax + b, kaller vi koeffisienten a for stigningstallet til linjen.

Eksempel

Vi har en linje som går gjennom punktene A(2, 8), B(8, 10). Bestem likningen for linjen på formen y = ax + b. Det er best å finne denne formen ut fra den generelle likningen for linjen, så først setter vi opp den. Den generelle likningen har formen a₁x + b₁y + c₁ = 0, der [a₁, b₁] er normalvektoren, så vi finner normalvektoren. Retningsvektoren har koordinatene (8, 10) − (2, 8) = [6, 2], så normalvektoren $\overrightarrow{\mathbf{n}}$ har koordinatene [−2, 6]. I likningen kan vi dermed sette inn a₁ = −2, b₁ = 6:

$$-2x+6y+c_1=0$$

For koordinatene (x, y) setter vi inn et punkt som linjen sikkert går gjennom. For eksempel punktet B(8, 10). Vi setter altså inn x = 8, y = 10 i likningen:

$$\begin{array}{rcl}-2\cdot 8+6\cdot 10+c_1& =& 0\\ -16+60+c_1& =& 0\\ c_1& =& -44\end{array}$$

Vi får den generelle likningen

$$-2x+6y-44=0$$

Denne likningen kan vi dele på −2, og da får vi en litt penere form:

$$x-3y+22=0$$

Denne formen får vi ved å isolere y. Vi flytter alle de andre leddene over på høyre side og deler deretter likningen på tre:

$$\begin{array}{rcl}x-3y+22& =& 0\\ -3y& =& -x-22/\cdot -1\\ 3y& =& x+22/\cdot \frac{1}{3}\\ y& =& \frac{1}{3}x+\frac{22}{3}\end{array}$$

Den siste raden er likningen for linjen skrevet med stigningstallet. Hvis vi vil vite koeffisientene a, b, skriver vi $a=\frac{1}{3},b=\frac{22}{3}$. Du kan også se på grafen til linjen med retningsvektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ og normalvektoren $\overrightarrow{\mathbf{n}}$:

Hvis ikke koeffisienten b hadde blitt så uhåndterlig som $\frac{22}{3}$, ville du sett med en gang at koeffisienten b er y-koordinaten til skjæringspunktet mellom linjen og y-aksen. Skjæringspunktet med y-aksen har x-koordinaten x = 0. Når vi setter dette inn i likningen $y=\frac{1}{3}x+\frac{22}{3}$, får vi $y=\frac{1}{3}\cdot 0+\frac{22}{3}=\frac{22}{3}$, altså er $y=\frac{22}{3}$ for x = 0.

Stigningstallet til en linje

Hvis vi har likningen for en linje på formen y = ax + b, kaller vi tallet a stigningstallet til linjen. Stigningstallet henger sammen med vinkelen som linjen danner med den positive x-aksen. Se på figuren:

Figuren viser fire ulike linjer med ulike stigningstall a, men alle med samme konstantledd b = 2. Alle linjene har dermed formen y = ax + 2. Legg merke til at når verdien av stigningstallet, altså tallet foran variabelen x, endrer seg jevnt, endrer også vinkelen mellom linjen og den positive x-aksen seg. For eksempel danner den lilla linjen $y=\frac{1}{2}x+2$ vinkelen δ med aksen, den røde linjen y = x + 2 danner vinkelen γ, og den grønne linjen y = 2x + 2 danner vinkelen β.

I dette tilfellet gjelder det at jo større stigningstallet er, desto større er vinkelen som linjen danner med aksen. Stigningstallet til den lilla linjen $y=\frac{1}{2}x+2$ er $a_{\delta }=\frac{1}{2}$, stigningstallet til den grønne linjen y = 2x + 2 er a_β = 2, og dermed er a_δ < a_β. Samtidig gjelder δ < β. Men for eksempel stigningstallet til den blå linjen y = −2x + 2 er a_α = −2, så det er mindre enn alle de foregående, og likevel er vinkelen α den største av alle vinklene.

Vi ser at stigningstallet a har en sammenheng med vinkelen. La oss undersøke den nærmere. Vi tegner bare den lilla linjen $y=\frac{1}{2}x+2$, og vi er interessert i vinkelen δ. Vi velger to vilkårlige ulike punkter A, B på linjen og lager en rettvinklet trekant ABC av dem, slik figuren viser. Vinklene δ og ϵ er like store, fordi de er samsvarende vinkler.

Nå skal vi prøve å uttrykke vinkelen ϵ ved hjelp av linjestykkene AC og BC. For å kunne gjøre det må vi kjenne lengdene av disse linjestykkene. Vi kaller koordinatene til punktene A og B slik: A = (x₁, y₁) = (2, 3) og B = (x₂, y₂) = (6, 5). Lengden av linjestykket AC er da lik differansen |x₂ − x₁| = |6 − 2| = 4. Vi tar x-koordinaten til punktet B, som er den samme som x-koordinaten til punktet C, og trekker x-koordinaten til punktet A fra dette tallet. Dermed får vi lengden av linjestykket AC. Det samme gjør vi med linjestykket BC, bare at vi tar y-koordinatene. Altså er |BC| = |y₂ − y₁| = |5 − 3| = 2.

Videre bruker vi trigonometriske funksjoner, nærmere bestemt tangens. I den rettvinklede trekanten ABC gjelder for vinkelen ϵ at $\tan (ϵ)=\frac{|BC|}{|AC|}$. Tangens til vinkelen ϵ er lik forholdet mellom den motstående og den hosliggende kateten. Når vi setter inn lengdene av linjestykkene, får vi:

$$\tan (ϵ)=\frac{|BC|}{|AC|}=\frac{|y_2-y_1|}{|x_2-x_1|}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

Tangens til vinkelen ϵ, som er den samme som vinkelen δ, ble altså $\frac{1}{2}$. Tangens til vinkelen som linjen danner med den positive x-aksen, er $\frac{1}{2}$. Likningen for denne linjen er $y=\frac{1}{2}x+2$, så tangens til vinkelen som linjen danner med den positive x-aksen, er lik stigningstallet til linjen! Det er ikke tilfeldig, og det gjelder generelt:

Hvis linjen p har likningen y = ax + b, er stigningstallet a lik tangens til vinkelen som linjen p danner med den positive x-aksen.