Suoran yhtälön ratkaistu muoto

Suoran yhtälön ratkaistu muoto perustuu siihen kulmaan, jonka suora muodostaa x-akselin kanssa.

Johdanto

Meillä on suora p, jonka yleinen yhtälö on ax + by + c = 0. Tiedämme, että lineaarisen funktion kuvaaja on nimenomaan suora. Lineaarinen funktio kirjoitetaan yleensä muodossa y = f(x). Voisimme siis haluta muuntaa suoran yleisen yhtälön ax + by + c = 0 juuri tähän muotoon. Sen aikaansaamiseksi tarvitaan, että b ≠ 0, koska yhtälöstä täytyy ratkaista y ja siis jakaa koko yhtälö luvulla b. Jos siis b ≠ 0, yleisen yhtälön voi muokata näin:

$$\begin{array}{rcl}ax+by+c& =& 0/:b\\ \frac{ax}{b}+y+\frac{c}{b}& =& 0/\text{ ratkaistaan }y\\ y& =& -\frac{ax}{b}-\frac{c}{b}\end{array}$$

Näin saimme tavallisen lineaarisen funktion lausekkeen. Koska tämä esitys on aika hankala, tehdään sijoitus eli asetetaan yhtälöt

$$\begin{array}{rcl}k& =& -\frac{a}{b}\\ q& =& -\frac{c}{b}\end{array}$$

ja sitten edellisen yhtälön voi kirjoittaa muodossa:

$$y=kx+q$$

Tämä ei ole mikään toinen muoto, vaan kirjoitimme ruman murtoluvun $-\frac{c}{b}$ tilalle q, siinä kaikki. (Koulussa tätä vakiotermiä merkitään yleensä kirjaimella b, eli y = kx + b. Tässä artikkelissa käytämme kirjainta q, koska b on jo yleisen yhtälön kerroin.) Koska muoto kx + q kuvaa tavallista lineaarista funktiota, tässä muodossa oleva suora ei voi olla yhdensuuntainen y-akselin kanssa. Sen suljimme pois jo sanomalla, että b ≠ 0.

Jos olisi b = 0, suora olisi yhdensuuntainen y-akselin kanssa ja tällaisen suoran yleinen yhtälö olisi muotoa ax + c = 0. Kun tämä yhtälö jaetaan luvulla a ja sitä muokataan, saadaan:

$$\begin{array}{rcl}ax+c& =& 0/:a\\ x+\frac{c}{a}& =& 0\\ x& =& -\frac{c}{a}\end{array}$$

Koska murtoluku $-\frac{c}{a}$ on taas ruma, otamme käyttöön sijoituksen $m=-\frac{c}{a}$, jolloin lopulta saamme yhtälön

$$x=m$$

Yhteenvetona: jokaisen suoran, joka ei ole yhdensuuntainen y-akselin kanssa, voi kirjoittaa muodossa y = kx + q, missä k, q ∈ ℝ, ja jokaisen y-akselin suuntaisen suoran voi kirjoittaa muodossa x = m, missä m ∈ ℝ.

Yhtälöä muodossa y = kx + q sanotaan sitten suoran yhtälön ratkaistuksi muodoksi ja kerrointa k suoran kulmakertoimeksi.

Esimerkki

Meillä on suora, joka kulkee pisteiden A = (2, 8), B = (8, 10) kautta. Määritä suoran yhtälö ratkaistussa muodossa. Ratkaistu muoto määritetään parhaiten suoran yleisestä yhtälöstä, joten muodostetaan ensin se. Yleinen yhtälö on muotoa ax + by + c = 0, missä (a, b) on normaalivektori, joten etsitään normaalivektori. Suuntavektorin koordinaatit ovat (8, 10) − (2, 8) = (6, 2), joten normaalivektorin $\overline{n}$ koordinaatit ovat (−2, 6). Yleiseen yhtälöön voidaan siis sijoittaa a = −2, b = 6:

$$-2x+6y+c=0$$

Koordinaattien (x, y) paikalle sijoitetaan jokin piste, jonka kautta suora varmasti kulkee. Esimerkiksi piste B = (8, 10). Sijoitetaan siis yhtälöön x = 8, y = 10:

$$\begin{array}{rcl}-2\cdot 8+6\cdot 10+c& =& 0\\ -16+60+c& =& 0\\ c& =& -44\end{array}$$

Yleiseksi yhtälöksi tulee

$$-2x+6y-44=0$$

Tämän yhtälön voi jakaa luvulla −2, jolloin saadaan hieman nätimpi muoto:

$$x-3y+22=0$$

Ratkaistu muoto saadaan ratkaisemalla y. Siirretään kaikki muut termit oikealle puolelle ja jaetaan sitten yhtälö kolmella:

$$\begin{array}{rcl}x-3y+22& =& 0\\ -3y& =& -x-22/\cdot -1\\ 3y& =& x+22/\cdot \frac{1}{3}\\ y& =& \frac{1}{3}x+\frac{22}{3}\end{array}$$

Viimeinen rivi esittää suoran yhtälön ratkaistussa muodossa. Jos haluaisimme tietää kertoimet k, q, kirjoittaisimme $k=\frac{1}{3},q=\frac{22}{3}$. Voit vielä katsoa suoran kuvaajaa, jossa on suuntavektori $\overline{u}$ ja normaalivektori $\overline{n}$:

Jos kerroin q ei olisi tullut juuri näin hankalasti $\frac{22}{3}$, näkisit ensi silmäyksellä, että kerroin q määrää suoran ja y-akselin leikkauspisteen y-koordinaatin. Leikkauspisteen y-akselin kanssa x-koordinaatti on x = 0. Kun sijoitamme sen yhtälöön $y=\frac{1}{3}x+\frac{22}{3}$, saamme $y=\frac{1}{3}\cdot 0+\frac{22}{3}=\frac{22}{3}$, eli kun x = 0, y:n arvo on $y=\frac{22}{3}$.

Suoran kulmakerroin

Jos suoran yhtälö on ratkaistussa muodossa y = kx + q, lukua k sanotaan suoran kulmakertoimeksi. Suoran kulmakertoimella on yhteys kulmaan, jonka suora muodostaa positiivisen x-akselin kanssa. Katso seuraavaa kuvaa:

Kuvassa on neljä eri suoraa, joilla on eri kulmakertoimet k mutta aina sama kerroin q = 2. Kaikki suorat ovat siis muotoa y = kx + 2. Huomaa, että kun kulmakertoimen arvo eli luku tuntemattoman x:n edessä muuttuu tasaisesti, muuttuu myös kulma, jonka suora muodostaa positiivisen x-akselin kanssa. Esimerkiksi violetti suora $y=\frac{1}{2}x+2$ muodostaa akselin kanssa kulman δ, punainen suora y = x + 2 muodostaa akselin kanssa kulman γ ja vihreä suora y = 2x + 2 muodostaa akselin kanssa kulman β.

Tässä tapauksessa pätee, että mitä suurempi kulmakerroin on, sitä suurempi on myös kulma, jonka suora muodostaa akselin kanssa. Violetin suoran $y=\frac{1}{2}x+2$ kulmakerroin on $k_1=\frac{1}{2}$, vihreän suoran y = 2x + 2 kulmakerroin on k₂ = 2, joten k₁ < k₂. Samalla pätee δ < β. Mutta esimerkiksi sinisen suoran y = −2x + 2 kulmakerroin on k₃ = −2, joten se on pienempi kuin kaikki edelliset, ja silti kulma α on kaikista kulmista suurin.

Näemme, että kulmakertoimella k on jokin yhteys kulmaan. Tutkitaan sitä tarkemmin. Piirretään vain violetti suora $y=\frac{1}{2}x+2$, ja meitä kiinnostaa kulma δ. Valitaan suoralta kaksi mielivaltaista eri pistettä A, B ja muodostetaan niistä suorakulmainen kolmio ABC kuvan mukaisesti. Kulmat δ ja ϵ ovat yhtä suuret, koska ne ovat samankohtaiset kulmat.

Yritämme nyt ilmaista kulman ϵ janojen AC ja BC avulla. Jotta se onnistuu, meidän täytyy tietää näiden janojen pituudet. Merkitään pisteiden A ja B koordinaatit näin: A = (x₁, y₁) = (2, 3) ja B = (x₂, y₂) = (6, 5). Janan AC pituus on silloin erotus |x₂ − x₁| = |6 − 2| = 4. Otamme pisteen B x-koordinaatin, joka on sama kuin pisteen C x-koordinaatti, ja vähennämme tästä luvusta pisteen A x-koordinaatin. Näin saamme janan AC pituuden. Sama tehdään janalle BC, mutta otetaan y-koordinaatit. Pätee siis |BC| = |y₂ − y₁| = |5 − 3| = 2.

Seuraavaksi käytämme trigonometrisia funktioita, tarkemmin tangenttia. Suorakulmaisessa kolmiossa ABC pätee kulmalle ϵ, että $\tan (ϵ)=\frac{|BC|}{|AC|}$. Kulman ϵ tangentti on vastaisen kateetin ja viereisen kateetin suhde. Kun janojen tilalle sijoitetaan niiden pituudet, saadaan:

$$\tan (ϵ)=\frac{|BC|}{|AC|}=\frac{|y_2-y_1|}{|x_2-x_1|}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

Kulman ϵ, joka on sama kuin kulma δ, tangentiksi tuli siis $\frac{1}{2}$. Suoran ja positiivisen x-akselin välisen kulman tangentti on $\frac{1}{2}$. Samalla tämän suoran yhtälö on $y=\frac{1}{2}x+2$, eli suoran ja positiivisen x-akselin välisen kulman tangentti on sama kuin tämän suoran kulmakerroin! Se ei ole sattumaa, vaan pätee yleisesti:

Jos suoran p yhtälö ratkaistussa muodossa on y = kx + q, niin kulmakerroin k on yhtä suuri kuin suoran p ja positiivisen x-akselin välisen kulman tangentti.